Toán 9 Cho tam giác ABC lấy E, F trên AC, AB

[phong nguyen1234]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]\Delta ABC[/imath] nhọn. Lấy [imath]E,F[/imath] trên [imath]AC,AB[/imath] sao cho [imath]BC^2=BA\cdot BF+CE \cdot CA[/imath].
a) [imath]CF[/imath] cắt [imath]BE[/imath] tại [imath]D[/imath]. Chứng minh [imath]A,D,E,F[/imath] cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp [imath]\Delta AEF[/imath] đi qua một điểm cố định [imath]X[/imath] khác [imath]A[/imath].
c) Gọi [imath]H[/imath] là trực tâm [imath]\Delta ABC[/imath]. Tính [imath]HX[/imath] theo [imath]a,b,c[/imath].
Mọi người cho em hỏi câu b với ạ

 

[7 1 2 5]

b) Gọi [imath]K[/imath] là giao điểm [imath](AEB)[/imath] với [imath]BC[/imath]. Khi đó dễ chứng minh được [imath]K \in (AFC)[/imath]
Gọi [imath]M[/imath] là trung điểm [imath]BC[/imath], [imath]AM[/imath] cắt [imath](AEF)[/imath] tại [imath]X[/imath], [imath](AEF)[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]N \neq A[/imath], [imath]AN[/imath] cắt [imath]BC[/imath] tại [imath]I[/imath].
Vẽ hình bình hành [imath]BDCG[/imath] thì [imath]D,M,G[/imath] thẳng hàng.
Vì [imath]AEDF[/imath] nội tiếp nên [imath]\widehat{BDF}=\widehat{BAC}=\widehat{BKF}[/imath] nên [imath]BKDF[/imath] nội tiếp. Tương tự thì [imath]CKDE[/imath] nội tiếp.
Lại có [imath]\widehat{BGC}=\widehat{BDC}=\widehat{EDF}=180^o-\widehat{A}[/imath] nên [imath]G \in (O)[/imath]
Từ đó [imath]\widehat{AND}=180^o-\widehat{AED}=180^o-\widehat{ACG}=\widehat{ANG}[/imath] nên [imath]N,D,G[/imath] thẳng hàng.
Suy ra [imath]N,D,M[/imath] thẳng hàng.
Ta có [imath]\widehat{AXD}=\widehat{AED}=\widehat{DKC}[/imath] nên [imath]DXMK[/imath] nội tiếp.
[imath]\Rightarrow \widehat{MKX}=\widehat{MDX}=\widehat{MAI}[/imath] nên [imath]IAXK[/imath] nội tiếp.
Khi đó [imath]\widehat{AXI}=\widehat{AKI}=\widehat{AED}=\widehat{AXD}[/imath] nên [imath]X,D,I[/imath] thẳng hàng.
Suy ra [imath]IK \cdot IM=ID \cdot IX=IA \cdot IN=IB \cdot IC[/imath]
[imath]\Rightarrow IM^2-MK \cdot MI=(IM-MB)(IM+MC)=IM^2-MB \cdot MC[/imath]
[imath]\Rightarrow MK \cdot MI=MB \cdot MC[/imath]
Mặt khác, do [imath]AXKI[/imath] nội tiếp nên [imath]MK \cdot MI=MX \cdot MA \Rightarrow MX \cdot MA=MB \cdot MC[/imath]
Vì [imath]A,B,C,M[/imath] cố định nên [imath]X[/imath] cố định. Ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Ôn tập toán các dạng bài hình học 9