Toán 9 cho tam giác ABC , gọi I là điểm bất kì nằm trong tam giác đó

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC , gọi I là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Từ I kẻ IM,IN,IP lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại M,N,P
Xác định vị trí của I sao cho [tex]AP^{2}+BM^{2}+CN^{2}[/tex] NHỎ NHẤT

 

[Alice_www]

cho tam giác ABC , gọi I là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Từ I kẻ IM,IN,IP lần lượt vuông góc với BC,CA,AB tại M,N,P
Xác định vị trí của I sao cho [tex]AP^{2}+BM^{2}+CN^{2}[/tex] NHỎ NHẤT

Áp dụng pytago cho các tam giác nhỏ ta có
$AP^2+BM^2+CN^2=AI^2-IP^2+BI^2-IM^2+CI^2-IN^2$
$=(AI^2-IN^2)+(BI^2-IP^2)+(CI^2-IM^2)$
$=AN^2+BP^2+CM^2$
Ta có: $AP^2+BM^2+CN^2+AN^2+BP^2+CM^2$
$\ge \dfrac{(AP+BP)^2}{2}+\dfrac{(BM+CM)^2}{2}\dfrac{(CN+AN)^2}{2}=\dfrac{AB^2}{2}+\dfrac{BC^2}{2}+\dfrac{AC^2}{2}$
Suy ra $AP^2+BM^2+CN^2\ge \dfrac{1}{4}(AB^2+BC^2+CA^2)$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $AP=BP; BM=CM; CN=AN$
$\Leftrightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm ở topic này để ôn thi học kì nhé <3
https://diendan.hocmai.vn/threads/tong-hop-topic-on-thi-hoc-ki.841342/