Cho tam giác ABC đều. Gọi M,N là điểm thuộc AB, BC sao cho BN=BM.Gọi G là trọng tâm của tâm giác BM

H

hoangtubongdem5

- Trên đoạn GI lấy E sao cho I là trung điểm của GE,

+ Vì I là trung điểm của cả GE và AN \Rightarrow Tứ giác AENG là hình bình hành suy ra 2 điều :

1. AE // GN, mà G là trọng tâm tam giác BMN \Rightarrow GN vuông góc AB \Rightarrow AE vuông góc AB

[TEX]\Rightarrow \hat{EAC} = 90^o - \hat{BAC} = 90^o - 60^o = 30^o \Rightarrow \hat{EAC} = \hat{CBG} = 30^o[/TEX] (1)

2. AE = GN ( và = GB, do G là trọng tâm tam giác BMN) (2)

+ Xét 2 tam giác BGC và AEC có
BC=AC

AE=GB(do (2))

[TEX]\hat{EAC}=\hat{GBC}[/TEX] (do(1))

\Rightarrow tam giác BGC = tam giác AEC (c.g.c)

\Rightarrow GC=CE \Rightarrow Tam giác GEC cân tại C, mà I là trung điểm GE

\Rightarrow IC vuông góc GE hay [TEX]\hat{GIC} = 90^o[/tex]

Còn lại góc G = [TEX]60^o[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
H

hoangtubongdem5

Cách khác

BG cắt MN,AC lần lượt tại K và E.
MG cắt BC tại H.
nếu vẽ hình chính xác thì sẽ nhận ra ngay là I = 90 và I,E,C,H,G nội tiếp trong một đường tròn. giờ ta khai thác cái này trước.

BM=MN;B=60 =>BMN đều, có G là trọng tâm => MH_|_BC và BK_|_MN (hay BE_|_AC); K,H là trung điểm MN,BN
E và H nhìn GC dưới góc 90 độ => nội tiếp đường tròn đường kính GC (*)

I và K là trung điểm AN và MN=> IK//AB
tương tự, KH//AB
=> I,K,H thẳng hàng. => góc IKE= góc GKH(1)

I,E là trung điểm AN,AC=> IE//BC => góc IEK= góc KBH (a)
góc KBH =góc HMN (cùng phụ góc MNB) = góc HMB (MH là phân giác)= góc GHK (so le trong)(b)
(a),(b) => góc IEK = góc GHK (2)
(1),(2) => góc EGH= góc HIE
I và G cùng nhìn HE dưới một góc bằng nhau => thuộc cùng một đường tròn(**)
(*),(**) => góc GIC =90.
hai góc còn lại sẽ hơi bị khủng.
gọi F là trung điểm GC. lại có E là trung điểm AC => FE/AG= EC/AC =1/2(c)
lấy A' đối xứng với A qua G; N' đối xứng với N qua G=>AN'A'N là hình bình hành
gọi B' là giao điểm của NN' và AB

ta có NG=2B'G=N'G vậy B' là trung điểm N'G mà AB' _|_ N'G vậy góc AN'G = góc AGN'= góc NGA'
AN'A'N là hình bình hành => góc AN'N = góc N'NA'
vậy tam giác A'GN cân tại A' => A'N=A'G=AG(e)

G và I là trung điểm AA' và AN => GI/A'N=AG/AA' = 1/2(d)
(c),(d)(e) => GI=EF=1/2 GC mà GIC là tam giác vuông tại I => G=60;C=30
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom