[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng (d) chia chu vi của tam giác thành hai phần có tỉ số chu vi và tỉ số diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
2. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (I, r). Lần lượt vẽ các tiếp tuyến PQ, EF, IK (I, P Î AB, Q, E Î AC và K, F Î BC) với đường tròn (I, r) sao cho PQ //BC, EF//AB và IK//AC. Gọi r1, r2, r3 là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác APQ, BIK và CEF. Chứng minh rằng .
3. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trong đó r, R là bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp , ra, rb, rc là bán kính đường tròn bàng tiếp.
4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng nếu thì D, O, E thẳng hàng.
5. (Balkan 2000) Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong lần lượt là AD, BE và CF (D Î BC, E Î AC, F Î AB). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D, B’ là điểm đối xứng của B qua E và C’ là điểm đối xứng của C qua F. Giả sử A Î B’C’, B Î A’C’ và C Î A’B’, chứng minh rằng tam giác ABC đều.
6. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M là một điểm thuộc đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác OCD.
Chứng minh rằng 1/3 R < r < ½ R
7. (IMO shortlist 1999) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). X là một điểm bất kì trên cung AB (không chứa C) và gọi O1, O2 là tâm đường tròn nội tiếp của các giác CAX và CBX. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XO1O2 đi qua một điểm cố định khác X.
8. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp tất cả những điểm nằm trong tam giác mà khoảng cách từ điểm đó đến một cạnh bằng tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh khác.
2. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (I, r). Lần lượt vẽ các tiếp tuyến PQ, EF, IK (I, P Î AB, Q, E Î AC và K, F Î BC) với đường tròn (I, r) sao cho PQ //BC, EF//AB và IK//AC. Gọi r1, r2, r3 là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác APQ, BIK và CEF. Chứng minh rằng .
3. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trong đó r, R là bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp , ra, rb, rc là bán kính đường tròn bàng tiếp.
4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng nếu thì D, O, E thẳng hàng.
5. (Balkan 2000) Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong lần lượt là AD, BE và CF (D Î BC, E Î AC, F Î AB). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D, B’ là điểm đối xứng của B qua E và C’ là điểm đối xứng của C qua F. Giả sử A Î B’C’, B Î A’C’ và C Î A’B’, chứng minh rằng tam giác ABC đều.
6. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M là một điểm thuộc đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác OCD.
Chứng minh rằng 1/3 R < r < ½ R
7. (IMO shortlist 1999) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). X là một điểm bất kì trên cung AB (không chứa C) và gọi O1, O2 là tâm đường tròn nội tiếp của các giác CAX và CBX. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XO1O2 đi qua một điểm cố định khác X.
8. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp tất cả những điểm nằm trong tam giác mà khoảng cách từ điểm đó đến một cạnh bằng tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh khác.
