Câu 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi a = BC, b = CA, c = AB và [tex]m{_{a}}, m{_{b}}, m{_{c}}[/tex] lần lượt là đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
[tex]GA^{_{2}}+GB^{_{2}}+GC^{_{2}}=\frac{1}{3}(a^{_{2}}+b^{_{2}}+c^{_{2}})[/tex]
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a. Trung tuyến AM có độ dài bao nhiêu?
Câu 3: Cho tam giác ABC có [tex]sin^{^{2}}C=sin^{^{2}}A+sin^{^{2}}B.[/tex]. Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Câu 4: Cho tam giác ABC có diện tích [tex]S=2R^{2}[/tex][tex].sinB.sinC[/tex], với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Tính số đo góc A
Câu 1:
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac13(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})$
$\Rightarrow GA^2=\dfrac19(AB^2+AC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})$
Tương tự $GB^2=\dfrac19(BA^2+BC^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}),\qquad GC^2=\dfrac19(CA^2+CB^2+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB})$
$\Rightarrow GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac19(2AB^2+2AC^2+2BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB})$
Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})=AB^2$
Tương tự $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=BC^2$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=CA^2$
Suy ra $2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=AB^2+BC^2+CA^2$
Vậy $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac19(3AB^2+3AC^2+3BC^2)=\dfrac13(a^2+b^2+c^2)$
Mình gửi bạn câu 1, bạn xem nội quy để đăng bài lại nha, chúc bạn học tốt.
https://diendan.hocmai.vn/threads/thong-bao-noi-quy-box-toan-hmf.837036/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
