cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 nội tiếp đường tròn tâm O.

[trang331]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi điểm D thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho tứ giác AEDF là tứ giác nội tiếp. gọi I là giao điểm của AD và đường tròn (O). chứng minh diện tích $\Delta I B C$$\leq \frac{BC^2}{4AD^2}$

 

[lamnguyen.rs]

Cho 2 điểm E, F làm gì vậy nhỉ :|

Kẻ đường cao AH, IK xuống BC, BL xuống AD.
Ta có $\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{IK.BC:2}{AH.BC:2} = \dfrac{IK}{AH} = \dfrac{IK.BD:2}{AH.BD:2} = \dfrac{S_{IBD}}{S_{ABD}} = \dfrac{ID.BL:2}{AD.BL:2} = \dfrac{ID}{AD}$
Suy ra $S_{IBC} = \dfrac{ID}{AD}$
Dễ chứng minh TG ABD đồng dạng TG CID (g.g) ==> $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BD}{ID}$ <=> $AD.ID = CD.BD$
Ta có $CD.BD <= \dfrac{(CD + BD)^2}{4} (BDT Cauchy) = \dfrac{BC^2}{4}$
Suy ra $AD.ID <= \dfrac{BC^2}{4}$ <=> $\dfrac{AD.ID}{AD^2} = \dfrac{BC^2}{4AD^2}$ <=> $\dfrac{ID}{AD} <= \dfrac{BC^2}{4AD^2}$
Dấu = xảy ra khi CD = BD <=> D là trung điểm BC.
Vậy $S_{IBC} <= \dfrac{BC^2}{4AD^2}$