Toán 7 Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $BC$

Nguyễn Thị Quỳnh Lan

Cựu TMod Sử
Thành viên
31 Tháng ba 2020
1,503
6,416
551
Bắc Ninh
HocMai Forum
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $BC$. Lấy điểm $N$ và điểm $P$ sao cho $AB$ là trung trực của $MN$; $AC$ là trung trực của $MP$. $NP$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $F$ và $E$. Chứng minh rằng:
a. $\triangle ANP$ là tam giác cân.
b. $MA$ là phân giác của $\widehat{EMF}$.
c. Từ điểm $O$ tùy ý trong tam giác $ABC$, kẻ $OA_1,OB_1,OC_1$ lần lượt vuông góc với các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh $AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2=AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2$

Giúp em bài 5 với ạ

@vangiang124 giúp em được không ạ.
P/s: em định sửa vào bài mà sợ chị không nhận được thông báo nên em đăng lên đây nha chị
 

Attachments

  • 16385377515066257189161052313166.jpg
    16385377515066257189161052313166.jpg
    53.5 KB · Đọc: 39
  • 16385378471328517652429519200.jpg
    16385378471328517652429519200.jpg
    76.1 KB · Đọc: 43
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: Blue Plus

Blue Plus

Cựu TMod Toán|Quán quân WC18
Thành viên
TV ấn tượng nhất 2017
7 Tháng tám 2017
4,506
10,437
1,114
Khánh Hòa
$\color{Blue}{\text{Bỏ học}}$
a.
Vì $AB$ là đường trung trực của $MN$ nên $AM=AN$
Vì $AC$ là đường trung trực của $MP$ nên $AM=AP$
Suy ra $AN=AP\Rightarrow \triangle ANP$ cân tại $A$.
b.
Vì $F$ thuộc đường trung trực của $MN$ nên $FM=FN$
Xét $\triangle AFM$ và $\triangle AFN$ ta có: $AF$ chung, $AM=AN;FM=FN$
Suy ra $\triangle AFM=\triangle AFN$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{AMF}=\widehat{ANF}(1)$
Vì $E$ thuộc đường trung trực của $MP$ nên $EM=EP$
Xét $\triangle AEM$ và $\triangle AEP$ ta có: $AE$ chung, $AM=AP;EM=EP$
Suy ra $\triangle AEM=\triangle AEP$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{APE}(2)$
$\triangle ANP$ cân tại $A\Rightarrow \widehat{ANP}=\widehat{APN}$ hay $\widehat{ANF}=\widehat{APE}(3)$.
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $\widehat{AMF}=\widehat{AME}\Rightarrow MA$ là phân giác $\widehat{EMF}$
c.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có các đẳng thức sau:
$AB_1^2+B_1O^2=AO^2$
$BC_1^2+C_1O^2=BO^2$
$CA_1+A_1O^2=CO^2$
Suy ra $AB_1^2+B_1O^2+BC_1^2+C_1O^2+CA_1^2+A_1O^2=AO^2+BO^2+CO^2$
$\Rightarrow AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2=AO^2+BO^2+CO^2-(A_1O^2+B_1O^2+C_1O^2)$
$AC_1^2+C_1O^2=AO^2$
$BA_1^2+A_1O^2=BO^2$
$CB_1^2+B_1O^2=CO^2$
Suy ra $AC_1^2+C_1O^2+BA_1^2+A_1O^2+CB_1^2+B_1O^2=AO^2+BO^2+CO^2$
$\Rightarrow AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2=AO^2+BO^2+CO^2-(A_1O^2+B_1O^2+C_1O^2)$
Suy ra $AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2=AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2$

Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
Theo NỘI QUY BOX TOÁN, mỗi chủ đề chỉ được đăng 1 bài hình, nên bạn đăng bài hình còn lại ở chủ đề mới để được hỗ trợ sớm nhất nhé.
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom