Toán 9 Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại F

[Mori Ran 680]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại F
a) Cm tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) Hai đường thẳng EFvà BC cắt nhau tại S. Cm SE.SF=SC.SB
c)Vẽ đường kính AK. Gọi I là trung điểm của AH. Cm tứ giác BHCK là hình bình hànhvà AM đi qua trung điểm của OI
d) Sa cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh ba điểm M,H, N thẳng hàng.
Mọi người giúp em với ạ. Em cảm ơn trước

 

[7 1 2 5]

a) BCEF có [tex]\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o[/tex] nên nội tiếp đường tròn đường kính BC hay tâm M là trung điểm BC.
b) [tex]BCEF[/tex] nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{SBF}=\widehat{SEC}\Rightarrow \Delta SBF\sim \Delta SEC\Rightarrow \frac{SB}{SF}=\frac{SE}{SC}\Rightarrow SB.SC=SE.SF[/tex]
c) AK là đường kính của (O) [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB\perp BK\\ AC\perp CK \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} BK//CF\\ CK//BE \end{matrix}\right.\Rightarrow[/tex] BHCK là hình bình hành.
Từ đó M vừa là trung điểm BC vừa là trung điểm HK.
Giả sử AM đi qua D trên IO. Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
[tex]\frac{ID}{MH}=\frac{AD}{AM}=\frac{DO}{MK}[/tex]
Mà [TEX]MH=MK \Rightarrow ID=DO[/TEX]. Từ đó D là trung điểm IO(đpcm)
d) Vì BHCK là hình bình hành nên M,H,K thẳng hàng. Vậy ta chỉ cần chứng minh H,N,K thẳng hàng.
Thật vậy, chứng minh tương tự câu b) ta có: BCAN nội tiếp [tex]\Rightarrow SN.SA=SB.SC[/tex]. Mà [tex]SB.SC=SE.SF\Rightarrow SA.SN=SE.SF\Rightarrow \Delta SNF\sim \Delta SEA\Rightarrow \widehat{SNF}=\widehat{SEA}\Rightarrow[/tex] NAEF nội tiếp
Mà AEHF nội tiếp do [tex]\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\Rightarrow[/tex]A,E,F,H,N cùng nằm trên 1 đường tròn
[tex]\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{AFH}=90^o[/tex]
Mà [tex]\widehat{ANK}=90^o[/tex](góc nội tiếp chắn đường kính) nên H,K,N thẳng hàng hay đpcm.