Toán 9 Cho $\sqrt{x}+2\sqrt{y}= 10$. Chứng minh rằng $x+y\geq 20$

[thaothichhoctoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\sqrt{x}+2\sqrt{y}[/tex] [tex][/tex] [tex]= 10[/tex]
Chứng minh rằng [tex]x+y\geq 20[/tex]

 

[minhtan25102003]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
$(1+2^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2) \geq (1.\sqrt{x} + 2.\sqrt{y})^2= 10^2 = 100 \Leftrightarrow x+y \geq 20 $

Em xem có gì thắc mắc hỏi anh nhé

 

[thaothichhoctoan]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
$(1+2^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2) \geq (1.\sqrt{x} + 2.\sqrt{y})^2= 10^2 = 100 \Leftrightarrow x+y \geq 20 $

Em xem có gì thắc mắc hỏi anh nhé

Dạ nếu không dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz thì mình còn cách giải khác kh ạ?

 

[minhtan25102003]

Dạ nếu không dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz thì mình còn cách giải khác kh ạ?

Nếu như em dự đoán được điểm rơi thì có thể biến đổi tương đương nhé, theo c1 thì điểm rơi trong bài này là $x=4, y=16$ nên anh sẽ biến đổi như sau:

$20 =40-20=4(\sqrt{x}+2\sqrt{y})-20$

$x+y\geq 4(\sqrt{x}+2\sqrt{y})-20 \Leftrightarrow (x-4\sqrt{x} + 4)+(y-8\sqrt{y}+16)\geq 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)^2 + (\sqrt{y}-4)^2 \geq 0$ ( đúng )

 

[thaothichhoctoan]

Nếu như em dự đoán được điểm rơi thì có thể biến đổi tương đương nhé, theo c1 thì điểm rơi trong bài này là $x=4, y=16$ nên anh sẽ biến đổi như sau:

$20 =40-20=4(\sqrt{x}+2\sqrt{y})-20$

$x+y\geq 4(\sqrt{x}+2\sqrt{y})-20 \Leftrightarrow (x-4\sqrt{x} + 4)+(y-8\sqrt{y}+16)\geq 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)^2 + (\sqrt{y}-4)^2 \geq 0$ ( đúng )

Em cảm ơn ạ