Toán 10 Cho phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{(x+1)(3-x)}=m$

[luuquanghung681993]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{(x+1)(3-x)}=m$
a. Giải phương trình với $m=2$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

 

[kido2006]

Cho phương trình : [tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{(x+1)(3-x)}=m[/tex]
a, Giải phương trình với m=2
b, Tìm m để phương trình có nghiệm

Điều kiện [tex]-1\leq x\leq 3[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=a (a > 0 )\\ \Rightarrow a^2=4+2\sqrt{(x+1)(3-x)} \Rightarrow \sqrt{(x+1)(3-x)}=\dfrac{a^2-4}{2}[/tex]
Khi đó phương trình trở thành : [tex]-\frac{a^2-4}{2}+a=m\\ \Leftrightarrow a^2-2a-4+2m=0[/tex]
a, Tới đây chắc là đơn giản rồi bạn nhỉ ^^
b, Để phương tình có nghiệm thì [tex]\Delta' \geq 0\\ \Leftrightarrow 1-(2m-4)\geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{5}{2}\geq m[/tex]
Và phương trình phải có ít nhất 1 nghiệm nguyên dương do đó [tex]\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P<0 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix}\right.[/tex]

Tới đây bạn thay số vào là được ^^
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

 

[Alice_www]

View attachment 195721View attachment 195721

Cho phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{(x+1)(3-x)}=m$
a) Giải phương trình với $m=2$
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
ĐKXĐ $-1\leq x\leq 3$
Đặt $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$
$\Rightarrow t^2=4+\sqrt{(x+1)(3-x)}\Rightarrow \sqrt{(x+1)(3-x)}=\dfrac{t^2-4}{2}$
pt $\Leftrightarrow t-\dfrac{t^2-4}{2}=m$
a) Với $m=2$ ta có
pt $\Leftrightarrow t-\dfrac{t^2-4}{2}=2$
$\Leftrightarrow 2t-t^2+4=4\Leftrightarrow t^2-2=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t=0\\t=2\end{matrix}\right.$
Với $t=0\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0\\3-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.$ (vô lí)
Với $t=2\Rightarrow \sqrt{(x+1)(3-x)}=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x+1=0\\3-x=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.$
Vậy pt có 2 nghiệm là $x=-1; x=3$
b) áp dụng bunhiaxopki ta có $t^2=(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x})^2\leq (1^2+1^2)(x+1+3-x)=8$
$\Rightarrow t\leq 2\sqrt{2}$
Ta có BDT với $a,b\geq 0$ thì $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}\geq a+b\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 0$ (luôn đúng)
Suy ra $t=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\geq \sqrt{x+1+3-x}=2$
Vậy $2\leq t\leq 2\sqrt{2}$
Xét $f(t)=-\dfrac{t^2}{2}+t+2$
pt(1) có nghiệm $\Leftrightarrow minf(t)\leq m\leq maxf(t)$ với $2\leq t\leq 2\sqrt{2}$
ta có $\dfrac{-b}{2a}=1$
$\Rightarrow max f(t) =f(2); minf(t)=f(2\sqrt{2})$ với $2\leq t\leq 2\sqrt{2}$
Vậy pt có nghiệm $\Leftrightarrow -2+2\sqrt{2}\leq m\leq 2$
Có gì khúc mắc e hỏi lại nhé <3