Toán 9 Cho p nguyên tố, p>3. Chứng minh với mọi x thuộc {1,2,...,p-1} có duy nhất y thuộc {1,2,...,p-1}

[Gia Ni]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho p nguyên tố, p>3. Chứng minh với mọi x thuộc {1,2,...,p-1} có duy nhất y thuộc {1,2,...,p-1}, y khác x sao cho x.y đồng dư 1( mod p). Số y như thế được gọi là số nghịch đảo của x theo mod p

 

[7 1 2 5]

Xét các số: [tex]x,2x,...,(p-1)x[/tex]
p - 1 số trên đều không chia hết cho p nên khi chia p sẽ nhận số dư từ 1 tới p - 1.
Giả sử không tồn tại số nào đồng dư với 1 module p.
Khi đó p - 1 số trên sẽ nhận p - 2 số dư từ 2 tới p - 1. Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 2 số đồng dư với nhau. Giả sử đó là [tex]mx,nx(m> n)[/tex]
Khi đó [tex]mx-nx=(m-n)x\vdots p[/tex]
Mà x không chia hết cho pm [tex]m-n\in \left \{ 1,2,...,p-1 \right \}[/tex] cũng không chia hết cho p nên vô lý. Vậy ta có đpcm.