Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn. Kẻ OA vuông góc với xy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M; OE cắt AC ở N
a) C/m OBAD nội tiếp
b) CMR: AB.EN=AF.EC
c) So sánh góc AOD và COM
d) Chứng tỏ A là trung điểm DE
a) Vì OB là tiếp tuyến (O) nên [tex]OB\perp BD[/tex]=> [tex]\widehat{OBD}=90^o[/tex]
Theo gt [tex]OA\perp ED=>\widehat{OAD}=90^o[/tex] .
Tứ giác OBAD có [tex]\widehat{OBD}=\widehat{OAD}=90^o[/tex] => OBAD nội tiếp.
b) Xét tứ giác OCEA có [tex]\widehat{ECO}+\widehat{EAO}=90^o+90^o=180[/tex] và là 2 góc đối=. OCEA nội tiếp=> [tex]\widehat{CEN}=\widehat{BAF}[/tex](1)
Có: [tex]\widehat{ABF}=\widehat{MBC}[/tex](đối đỉnh)
Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M=> MB=MC=> [tex]\Delta MBC[/tex] cân tại M=> [tex]\widehat{ECN}=\widehat{MBC}[/tex]
====> [tex]\widehat{ABF}=\widehat{ECN}[/tex](2)
Từ (1) và (2)=>[tex]\Delta ECN \sim \Delta ABF=>AB.EN=AF.EC[/tex]
c)M là giao điểm 2 tiếp tuyến => OM là phân giác $ \widehat{BOC} $=> $ \widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$(3)
Tứ giác ABOD nội tiếp=> $\widehat{ABD}=\widehat{AOD}$(4)
Ta có : $\widehat{ABD}=\widehat{MBC}$(5)
$\widehat{MBC}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung CB=>$\widehat{MBC}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$(6)
Từ (3),(4),(5) và (6)=> $\widehat{AOD}=\widehat{COM}$
d) Chứng minh trên, tứ giác OAEC nội tiếp=> $\widehat{ECA}=\widehat{EOA}$
Bạn chứng minh $\widehat{ECA}=\widehat{COM}$
Theo câu c thì $\widehat{AOD}=\widehat{COM}$
Qua 3 ý=> $\widehat{AOD}=\widehat{EOA}$=> OA là p/g $\widehat{EOD}$
Mà OA đồng thời vuông góc với ED => tam giác EOD cân tại O.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
