Mỗi số trong tập A có dạng 6k + r; với k ∈ ℕ, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} và k + r > 0.
a) A gồm 5 số dạng (6k) và 4 số dạng (6k + 1) thỏa yêu cầu, vì không thể tạo được số dạng (6k) từ bất kỳ phép chọn nào với 4 số dạng (6k + 1), và ± số dạng (6k) không ảnh hưởng đến phần dư của phép chia 6. Ta chọn được tập A = {6, 12, 18, 24, 36, 7, 13, 19, 25}.
b) Ta có: nếu 2 số nguyên dương cùng chia hết cho 3 thì tổng của chúng chia hết cho 6. Ta chứng minh luôn có thể chọn ra 2 tập con, mỗi tập 3 phần tử từ A sao cho mỗi tập con đó đều chia hết cho 3. Khi đó, tổng các phần tử của 2 tập con là số chia hết cho 6. Gọi 2 tập con đó là B và C.
Vì A chứa 13 phần tử và các phần tử có thể có 6 dạng (theo phần dư r), A chứa ít nhất 3 phần tử đồng dạng [imath]\left( \cfrac{13}{6} = 2 \cfrac{1}{6} \right)[/imath]. Ta được một tập con B chứa 3 phần tử đồng dạng có tổng chắc chắn chia hết cho 3.
A còn lại 10 phần tử. TH1: A còn lại 3 phần tử đồng dạng, chọn 3 phần tử đó, vậy ta có C có tổng chia hết cho 3 và tập [imath]B \cup C[/imath] có tổng chia hết cho 6. TH2: A không còn lại 3 phần tử đồng dạng, vậy A còn ít nhất 4 cặp đồng dạng. Từ 4 cặp đồng dạng bất kỳ, luôn có thể chọn ra 2 cặp đồng dạng sao cho tổng của một cặp và một phần tử của cặp còn lại chia hết cho 3, như bảng.
[imath]\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} r = & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline & 2 & & & 1 & & \\ \hline & & 2 & & & 1 & \\ \hline & & & 2 & & & 1 \\ \hline & 1 & & & 2 & & \\ \hline & & 1 & & & 2 & \\ \hline & & & 1 & & & 2 \end{array}[/imath]
Vậy từ 10 giá trị còn lại của A, luôn có thể chọn được C chứa 3 phần tử có tổng chia hết cho 3.
Luôn tìm được [imath]B \cup C[/imath] chứa 6 phần tử có tổng chia hết cho 6.
Kết luận: Không tồn tại A với n = 13.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
