Cho mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh A,B,C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu bằng 3. Tổng độ dài l các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn điều kiện nào dưới đây:
[tex]A.l \in (\sqrt{3};2) B.l \in (3\sqrt{3};6) C.l \in (13\sqrt{2};12\sqrt{3}) D.l \in (1;\sqrt{2})[/tex]
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OI \perp SE$, dễ chứng minh được $OI \perp (SAB)$
Suy ra $I$ là tâm đường tròn $(C)$ giaoo tuyến của mặt cầu tâm $O$ với $(SAB)$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn $(C)$ với $SB,SA$; $K$ là trung điểm của $MB$
Giả sử $AB=a$, theo giả thiết ra suy ra
$OC=1 \iff \dfrac{a\sqrt3}{2}=1 \iff a=\sqrt3$
Ta có $SE=CE=\dfrac{3}2$
$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt2$
$OE=\dfrac12, \,\, SI=\dfrac{4}3$
$OI=\dfrac{SO.OE}{SE}=\dfrac{\sqrt2}3$
$IE=\dfrac{OE^2}{SE}=\dfrac{1}6$
Gọi $r$ là bán kính của $(C)$ khi đó
$r=\sqrt{a-OI^2}=\dfrac{\sqrt7}{3}$
Ta có tam giác $SIK$ vuông tại $K$ và $\widehat{ISK}=30^\circ$
Suy ra $IK=\dfrac{1}2IS=\dfrac{2}3$
Xét tam giác $MIK$ có
$\cos \widehat{I}=\dfrac{IK}{IM}=\dfrac2{\sqrt7}$
Chiều dài cung $MN$ bằng $\dfrac{64}{180}\cdot \dfrac{\sqrt7}3=\dfrac{16\sqrt7}{135}$
$\implies \widehat{I} \approx 28^\circ \implies \widehat{MIN} \approx 64^\circ$
Tổng độ dài $l$ các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l=\dfrac{16\sqrt7}{45}$
Tết đến xuân về rồi cùng tham gia sự kiện này em nhé
https://diendan.hocmai.vn/threads/a...uom-mam-tet-xanh-cung-tranh-qua-khung.846559/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
