Toán 9 Cho $M$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Tính $MA^2+MB^2+MC^2$ theo $a$

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a.
a. Cho M là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính [tex]MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}[/tex]
theo a.
b. Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên d sao cho [tex]NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}[/tex] nhỏ nhất.

Bài 2: Cho tam giác ABC, BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh các hệ thức sau:
a. [tex]a=b\cos c+c\cos b[/tex]
b. [tex]\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B[/tex]
c. [tex]h_{a}=2R\sin B\sin C[/tex]
([tex]h_{a}[/tex] là độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).


(Không cần vẽ hình).

 

[Alice_www]

Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a.
a. Cho M là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính [tex]MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}[/tex]
theo a.
b. Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên d sao cho [tex]NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}[/tex] nhỏ nhất.

Bài 2: Cho tam giác ABC, BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh các hệ thức sau:
a. [tex]a=b\cos c+c\cos b[/tex]
b. [tex]\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B[/tex]
c. [tex]h_{a}=2R\sin B\sin C[/tex]
([tex]h_{a}[/tex] là độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).


(Không cần vẽ hình).

a. $MA^2+MB^2+MC^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=3MI^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
Chọn I là trong tâm tam giác ABC ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
$\Rightarrow T=3MI^2+IA^2+IB^2+IC^2=6R^2=2a^2$
b. $NA^2+NB^2+NC^2=(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB})^2 (\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=3NI^2+2\overrightarrow{NI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
Chọn I là trong tâm tam giác ABC ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
$\Rightarrow T=3NI^2+IA^2+IB^2+IC^2$
Mà $IA^2+IB^2+IC^2$ không đổi do A,B,C,I cố định
Suy ra $T_{min}\Leftrightarrow MI_{min}\Leftrightarrow$ N là chân đường cao của I trên d
Có gì khúc mắc b hỏi lại nhé <3