Ta chứng minh rằng nếu $f(x)$ liên tục mà $f(a+b-x)=f(x)$ thì $$\int_a^b xf(x) \; dx= \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \; dx. \qquad (1)$$
Đặt $u=a+b-x$ thì $\frac{du}{dx}=-1$. Ta có
$$\begin{align*} \int_a^b xf(x) \; dx &= (a+b)\int_a^b f(x) \; dx - \int_a^b (a+b-x)f(a+b-x) \; dx, \\
& = (a+b) \int_a^b f(x) \; dx + \int_{u(a)}^{u(b)} uf(u) \; du, \\
& = (a+b) \int_a^b f(x) \; dx + \int_b^a xf(x) \; dx, \\
&= (a+b) \int_a^bf(x) \; dx - \int_a^b xf(x) \; dx. \end{align*}$$
Do đó $(1)$ được chứng minh.
Để ý rằng $f(\sin (\pi -x))= f(\sin x)$ nên $$\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) \; dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) \; dx = \frac{\pi}{2}.$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
