Cho hinh vuông $ABCD$ có $AB=a$

[nguyenlinh178]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hinh vuông $ABCD$ có $AB=a$,trên $CD$ lấy $M$ sao cho $MC=\dfrac{1}{4}CD$.
Phân giác $\widehat{DAM}$ cắt $CD$ tại $E$ ,phân giác $\widehat{BAM}$ cắt $BC$ tại $N$,vẽ $EH$ vuông góc $AM$ tại $H$. Chứng minh rằng:
a, $E,H N$ thẳng hàng
b, $CN+NE+EC=2a$
c, $EM^2=DE^2+MC^2$
d,Tính diện tích tứ giác $AEMN$ theo $a$.

 

[icy_tears]

a/ * Xét tam giác ADE vuông tại D và tam giác AHE vuông tại H có:
Chung cạnh huyền AE
$ \widehat{DAE} = \widehat{DAH}$ (do AE là phân giác $\widehat{DAH}$)
Do đó tam giác ADE = tam giác AHE (cạnh huyền - góc nhọn)
\Rightarrow $AD = AH$ ; $DE = DH$ ; $\widehat{AHE} = \widehat{ADE} = 90^o$

* Xét tam giác AHN và tam giác ABN có:
AH = AB (= AD)
$\widehat{HAN} = \widehat{NAB}$ (do AN là phân giác $\widehat{HAB}$)
Chung AN
Do đó tam giác AHN = tam giác ABN (c.g.c)
\Rightarrow HN = NB ; $\widehat{AHN} = \widehat{ABN} = 90^o$

* Ta có: $\widehat{EHN} = \widehat{AHE} + \widehat{AHN} = 180^o$
\Rightarrow E; H ; N thẳng hàng (ĐPCM)


b/ * Ta có:
CN + NE + EC
= CN + (EH + HN) + EC
= CN + DE + BN + EC
= DC + BC
= 2a

c/ * Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ADM vuông tại D ta có:
$$AD^2 + DM^2 = AM^2$$
\Leftrightarrow $$a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 = AM^2$$
\Leftrightarrow $$AM = \frac{5}{4}a$$
\Leftrightarrow $$AH + HM = \frac{5}{4}a$$
\Leftrightarrow $$AB + HM = AB + MC$$
\Leftrightarrow $$HM = MC$$

* Áp dụng định lí Pitago vào tam giác EHM vuông tại H ta có:
$$ EM^2 = EH^2 + HM^2$$
\Leftrightarrow $$EM^2 = DE^2 + MC^2$$ (ĐPCM)

 

[luffy_1998]

d. Lấy các kết quả từ bài trên nhá.
AM cắt BC tại K.
$\dfrac{KC}{KB} = \dfrac{MC}{AB} = \dfrac{1}{4} \rightarrow KC = \dfrac{1}{4}(KC + a) \rightarrow KC = \dfrac{1}{3}a \rightarrow KB = \dfrac{4}{3}a$
$\dfrac{KM}{KA} = \dfrac{MC}{AB} = \dfrac{1}{4} \rightarrow KM = \dfrac{1}{4}(KM + \dfrac{5}{4}a) \rightarrow KM = \dfrac{5}{12}a \rightarrow KA = \dfrac{5}{3}a$
$\dfrac{BN}{AB} = \dfrac{NK}{AK} = \dfrac{BK}{AB + AK} = \dfrac{1}{2} \rightarrow BN = \dfrac{1}{2}a \rightarrow CN = \dfrac{1}{2}a$
Tương tự: $ED = \dfrac{1}{3}a \rightarrow EC = \dfrac{2}{3}a$
$\rightarrow EN = 2a - NC - EC = 2a - \dfrac{1}{2}a - \dfrac{2}{3}a = \dfrac{5}{6}a$
$\rightarrow S_{NMEA} = \dfrac{1}{2}AM.EN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{4}a.\dfrac{5}{6}a = \dfrac{25}{48}a^2$