Cho hinh chóp S.ABCD có dáy là hinh vuông cạnh x, các canh bên SA =SB=SC=SD =xcăn2. Lấy
điểm M trên canh SB và điểm N trên cạnh SD sao cho MB = ND =SB/3
Mat phẳng (AMN) cắt SC tại E.
a) Tinh ti só EC/ES
b) Tinh MN, AE, NE theo x.
.
a) Tìm $E$
Trên $mp(ABCD)$ gọi $\left \{O \right \}=AC\cap BD$
Trên $mp(SBC)$ gọi $\left \{I \right \}=MN\cap SO$
Trên $mp(SAC)$ gọi $\left \{E \right \}=AI\cap SC$
Suy ra $\left \{E \right \}=(AMN)\cap SC$
Xét $\Delta SBD$ có $\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{DN}{DS}=\dfrac{1}{3}$
Nên $MN\parallel BD$ (định lý Talét)
Suy ra $\dfrac{OI}{OS}=\dfrac{DN}{DS}=\dfrac{1}{3}$ (định lý Talét đảo)
Do $ABCD$ là hình vuông nên $O$ là trung điểm $AC$
Suy ra $SO$ là đường trung tuyến của $\Delta SAC$,
Mà $\dfrac{OI}{OS}=\dfrac{1}{3}$ nên $I$ là trọng tâm $\Delta SAC$
Suy ra $AE$ là đường trung tuyến $\Delta SAC$, $E$ là trung điểm $SC$, nên $\dfrac{EC}{ES}=1$
b) Theo định lý Talét, $\dfrac{MN}{BD}=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{2}{3}$
Suy ra $MN=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2x\sqrt{2}}{3}$
Ta có $SA=AC=CS=x\sqrt{2}$ nên $\Delta SAC$ đều, $AE$ là đường cao tam giác đều
Suy ra $AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SA=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$
Ta có $CD^2=SC^2+SD^2-2.SC.SD.\cos{\widehat{CSD}}$ (định lý cosin)
Tương đương $\cos{\widehat{CSD}}=\dfrac{SC^2+SD^2-CD^2}{2.SC.SD}=\dfrac{3}{4}$
Tương tự $EN^2=SE^2+SN^2-2.SE.SN.\cos{\widehat{CSD}}$
Suy ra $EN=\sqrt{SE^2+SN^2-2.SE.SN.\cos{\widehat{CSD}}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
View attachment 192572
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
