Toán 9 Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Từ điểm H trên đoạn OB (H khác O và B) vẽ dây cung AD vuông góc

[Song_Ngu_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Từ điểm H trên đoạn OB (H khác O và B) vẽ dây cung AD vuông góc với OB.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông và AD^2 = 4HB.HC
b) Các tiếp tuyến của (O) tại A và D cắt nhau tại M. Chứng minh 3 điểm M, B, O thẳng hàng và 4 điểm M, A, O, D cùng thuộc một đường tròn
c) Chứng minh B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAD và BM.CH = CM.BH
d) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường kính DE, ME cắt tại AI tại K. Chứng minh KA = KI

 

[Blue Plus]

a.
$\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh $BC$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
Đường kính $BC$ vuông góc với dây cung $AD$ nên $BC$ đi qua trung điểm của $AD\Rightarrow H$ là trung điểm $AD\Rightarrow AD=2HA$.
$BC\perp AD$ tại $H$ mà $H$ là trung điểm $AD$ nên $BC$ là đường trung trực của $AD$.
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$: $HA^2=HB.HC$
Ta có: $AD^2=(2HA)^2=4.HA^2=4.HB.HC$
b.
$MA,MD$ là hai tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow MA=MD\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của $AD$
Ta có $BC$ là đường trung trực của $AD$ nên $B,O$ thuộc đường trung trực của $AD$.
Suy ra $M,B,O$ thẳng hàng.
Theo định nghĩa ta có:
$MA\perp AO\Rightarrow \widehat{MAO}=90^\circ\Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
$MD\perp DO\Rightarrow \widehat{MDO}=90^\circ\Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Suy ra 4 điểm $A,D,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.
c.
$MA,MD$ là hai tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow MH$ là phân giác $\widehat{AMD}$
$\widehat{MBA}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=90^\circ+\widehat{ACB}$
$\widehat{MAC}=\widehat{MAO}+\widehat{OAC}=90^\circ+\widehat{OAC}$
mà $OA=OC\Rightarrow \triangle OAC$ cân tại $O\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{ACB}$
Suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{MAC}$
$\triangle MBA\sim \triangle MAC(g.g)\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MCA}$
mà $\widehat{MCA}=\widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{BAD}\Rightarrow AB$ là phân giác của $\widehat{MAD}$
Trong $\triangle MAD$ ta có: $AB$ là phân giác của $\widehat{MAD}$, $MB$ là phân giác $\widehat{AMD}$
Suy ra $B$ là giao điểm 3 đường phân giác trong $\triangle MAD\Rightarrow B$ là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle MAD$.
d.
Lấy điểm $F$ đối xứng với $D$ qua $M\Rightarrow \dfrac12DF=MF=MD=MA$
$\triangle AFD$ có trung truyến $AM$ bằng nửa cạnh huyền nên $\triangle AFD$ vuông tại $A\Rightarrow \widehat{FAD}=90^\circ$
Ta cũng có $\widehat{EAD}=90^\circ$
Suy ra $\widehat{FAE}=\widehat{FAD}+\widehat{EAD}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$
Do đó $F,A,E$ thẳng hàng.
Ta có $AI\perp DE,FD\perp DE\Rightarrow AI\parallel FD$
Trong $\triangle EFM$, có $AK\parallel FM$, áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{AK}{FM}=\dfrac{EK}{EM}$
Trong $\triangle EDM$, có $IK\parallel DM$, áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{IK}{DM}=\dfrac{EK}{EM}$
Suy ra $\dfrac{AK}{FM}=\dfrac{IK}{DM}$
mà $FM=DM$ nên $AK=IK$

Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.