Toán 9 Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ nằm cách $O$ một khoảng bằng $2R$

[Chí Nguyên QwQ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm cách O một khoảng bằng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
a) CMR: AMON là hình thoi ; b) Đthg MN là tiếp tuyến của đtr (O);
c) Tính diện tích hình thoi AMON

 

[Blue Plus]

a.
Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB\perp OB$, mà $OM\perp OB$ nên $AB\parallel OM$ hay $AN\parallel OM$
Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AC\perp OC$, mà $ON\perp OC$ nên $AC\parallel ON$ hay $AM\parallel ON$
Suy ra $AMON$ là hình bình hành.
2 tiếp tuyến $AB,AC$ của $(O)$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$ hay $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$
Suy ra $AMON$ là hình thoi.
b.
$AMON$ là hình thoi nên $AO$ vuông góc với $MN$ tại trung điểm mỗi đường.
Gọi $I$ là trung điểm $AO$ thì $OI=AI=\dfrac{OA}2=\dfrac{2R}2=R\Rightarrow I\in(O)$
và $OI\perp MN$
Suy ra $MN$ là tiếp tuyến của $(O)$.
c.
Ta có $\sin BAO=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac12\Rightarrow \widehat{BAO}=30^\circ$
$\tan IAN=\tan 30^\circ \Leftrightarrow \dfrac{IN}{AI}=\dfrac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow IN=\dfrac{AI}{\sqrt3}=\dfrac{R}{\sqrt3}$ (đvđd)
Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên $MN=2IN=\dfrac{2R}{\sqrt3}$ (đvđd)
$S_{AMON}=\dfrac12.AO.MN=\dfrac12.2R.\dfrac{2R}{\sqrt3}=\dfrac{2R^2}{\sqrt3}$ (đvdt)

Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn