Toán 9 Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC (BC<2R)$

[0373317486]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC (BC<2R)$. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $AB<AC$. Tia phân giác của góc $BAC$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $M$ $(M\ne A)$. Kẻ đường kính $MN$ của $(O)$.
1. Chứng minh rằng $AB.AC=AD.AM$
2. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $F$. Kẻ $BE\perp AD(E\in AD)$. Chứng minh rằng $BEFM$ là tứ giác nội tiếp.
3. Đường thẳng $EF$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $AB$, xác định vị trí của $A$ trên cung lớn $BC$ để $BK+OK$ có độ dài lớn nhất.

Mọi người giúp em giải chi tiết ài này ạ, em cảm mơn :3333

 

[Blue Plus]

1.
$\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$ (do $AM$ là phân giác)
$\widehat{ABD}=\widehat{AMC}$ (cùng chắn cung $AC$)
$\triangle ABD\sim \triangle AMC\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AB.AC=AD.AM$
2.
Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\Rightarrow BM=CM$. Do đó $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC\Rightarrow N$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$.
Ta có $OM$ là đường trung trực của $BC\Rightarrow F$ là trung điểm $BC$ và $OF\perp BC$
Ta có $\widehat{BFM}=\widehat{BEM}=90^\circ$ nên tứ giác $BEFM$ là tứ giác nội tiếp.
3.
Ta sẽ chứng minh $FK\parallel AC$, từ đó vì $F$ là trung điểm $BC$ nên $FK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, do đó suy ra $K$ là trung điểm $AB$.
$BEFM$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{BME}=\widehat{BMA}=\widehat{BCA}$
mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên $FE\parallel AC\Rightarrow FK\parallel AC$
Vì $F$ là trung điểm $BC$ nên $FK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, do đó suy ra $K$ là trung điểm $AB$.
$K$ là trung điểm $AB\Rightarrow OK\perp AB$
Theo định lí Pytago: $OK^2+BK^2=OB^2=R^2$
Ta có bất đẳng thức: $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)$, dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: $(OK+BK)^2\le 2(OK^2+BK^2)=2R^2\Rightarrow OK+BK\le R\sqrt2$
Dấu "=" xảy ra $OK=BK=\dfrac12AB\Rightarrow \triangle OAB$ vuông.
Vậy khi $A$ là điểm trên cung lớn $BC$ sao cho $OA\perp OB$ thì $OK+BK$ đạt giá trị lớn nhất.

Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
Bạn chú ý đăng bài tuân thủ NỘI QUY BOX TOÁN để được hỗ trợ sớm nhất nhé.
Ngoài ra em có thể xem thêm tài liệu tại đây nha. Chúc bạn học tốt!