cho dãy số a, a+1, a+2,..,2a với a là số nguyên dương. CMR: trong dãy số đã cho có ít nhất 1 số là số chính phương
chauchau2321969Gọi [imath]x^2[/imath] là số chính phương lớn nhất nhỏ hơn [imath]a[/imath] (do tính cực hạn)
Ta sẽ chứng minh [imath](x+1)^2[/imath] nằm giữa [imath]a[/imath] và [imath]2a[/imath] , có thể hiểu là [imath]a\leq (x+1)^2 \leq 2a[/imath]
Ta có: [imath]x^2 <a \Rightarrow x^2+1\leq a[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có: [imath]x^2+1\geq 2x \Rightarrow (x+1)^2= x^2+1+2x \leq 2(x^2+1)\leq 2a[/imath]
Hiển nhiên, do [imath]x^2[/imath] là số chính phương lớn nhất nhỏ hơn [imath]a[/imath], nên [imath](x+1)^2 \geq a[/imath]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ngooài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
