Toán 8 cho dãy số a, a+1, a+2,..,2a với a là số nguyên dương

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
cho dãy số a, a+1, a+2,..,2a với a là số nguyên dương. CMR: trong dãy số đã cho có ít nhất 1 số là số chính phương
chauchau2321969Gọi x2x^2 là số chính phương lớn nhất nhỏ hơn aa (do tính cực hạn)
Ta sẽ chứng minh (x+1)2(x+1)^2 nằm giữa aa2a2a , có thể hiểu là a(x+1)22aa\leq (x+1)^2 \leq 2a
Ta có: x2<ax2+1ax^2 <a \Rightarrow x^2+1\leq a
Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có: x2+12x(x+1)2=x2+1+2x2(x2+1)2ax^2+1\geq 2x \Rightarrow (x+1)^2= x^2+1+2x \leq 2(x^2+1)\leq 2a
Hiển nhiên, do x2x^2 là số chính phương lớn nhất nhỏ hơn aa, nên (x+1)2a(x+1)^2 \geq a
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ngooài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Toán rời rạc
 
  • Like
Reactions: chauchau2321969
Top Bottom