Toán 8 Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x^2 + y^2 + z^2 \ge \dfrac{1}3$

[Người ẩn danh trong bóng tối]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x^2 + y^2 + z^2 \ge \dfrac{1}3$
Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3}{2x + 3y + 5z} + \dfrac{y^3}{2y + 3z + 5x} + \dfrac{z^3}{2z + 3x + 5y} \ge \dfrac{1}{30}$

Phiền mn giải tiếp hộ em với ạ.
VT = $\dfrac{x^2}{2 + \dfrac{3y}{x}+ \dfrac{5z}{x}} + \dfrac{y^2}{2+ \dfrac{3z}{y}+ \dfrac{5x}{y}}+ \dfrac{z^2}{2+ \dfrac{3x}{z}+ \dfrac{5y}{z}} \ge \dfrac{ (x^2+y^2+z^2)^2}{ 6 + 3(\dfrac{y}{x}+ \dfrac{z}{y}+ \dfrac{x}{z}) + 5(\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z}}$
Xét mẫu thì $\ge 6+ 9+15 =30$
Tử thì $\ge 1/9$
... Tiếp ạ.

 

[2712-0-3]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x^2 + y^2 + z^2 \ge \dfrac{1}3$
Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3}{2x + 3y + 5z} + \dfrac{y^3}{2y + 3z + 5x} + \dfrac{z^3}{2z + 3x + 5y} \ge \dfrac{1}{30}$

Phiền mọi người làm thoe hướng chia x,y,z cho từng phân thức tương ứng để có x^2;y^2;z^2 ạ. BĐT Bunhia dạng cộng mẫu. Em cảm ơn ạ.

Đặt [imath]x^2+y^2+z^2 = t\geq \dfrac{1}{3}[/imath]
Ta có: [imath]xy + yz + zx \leq x^2 + y^2+z^2 = t [/imath]
**Đánh giá, biến đổi:
[imath]A = \sum {\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}} = \sum {\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}} \\ \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2 }{2(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx)} \geq\ \dfrac{t^2}{10t} = \dfrac{t}{10}\geq \dfrac{1}{30}[/imath]
Dấu bằng xảy ra khi [imath]x=y=z=\dfrac{1}{3}[/imath]

 

[Người ẩn danh trong bóng tối]

Đặt [TEX]x^2+y^2+z^2 = t\geq \dfrac{1}{3}[/TEX]
Ta có: [TEX]xy + yz + zx \leq x^2 + y^2+z^2 = t [/TEX]
**Đánh giá, biến đổi:
[tex]A = \sum {\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}} = \sum {\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}} \\ \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2 }{2(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx)} \geq\ \dfrac{t^2}{10t} = \dfrac{t}{10}\geq \dfrac{1}{30}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=z=\dfrac{1}{3}[/TEX]

Em sửa lại đề rồi ạ. A xem lại giúp em ạ . Em cảm ơn cách làm của anh ạ.

 

[2712-0-3]

Em sửa lại đề rồi ạ. A xem lại giúp em ạ . Em cảm ơn cách làm của anh ạ.

Anh nghĩ cách làm của em đến đấy là sai rồi, với cả cái áp dụng bất đẳng thức của em cũng sai luôn nhé , em xem lại lần nữa.
Đôi khi để chứng minh [imath]A \geq B [/imath], ta chỉ ra [imath]A \geq C \geq B[/imath]
Có thể mình sẽ làm quá tay kiểu [imath]3\geq 2 [/imath] thì mình chỉ được [imath]3\geq 1 ; [/imath] nhưng mà [imath]1 \leq 2 [/imath] (không làm được nữa)