Toán 9 Cho biểu thức P = a⁴ + b⁴ - ab với a, b là các số thực thoả mãn a² + b² + ab = 3

[thanhft06]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho biểu thức P = a⁴ + b⁴ - ab với a, b là các số thực thoả mãn a² + b² + ab = 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Mình là người mới vào làm quen với những bài tìm min,max như thế này , mong mọi người cho mình một lời giải chi tiết ạ! Chân thành cảm ơn mọi người!

 

[kido2006]

Cho biểu thức P = a⁴ + b⁴ - ab với a, b là các số thực thoả mãn a² + b² + ab = 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Mình là người mới vào làm quen với những bài tìm min,max như thế này , mong mọi người cho mình một lời giải chi tiết ạ! Chân thành cảm ơn mọi người!

Có [tex]3=a^2+b^2+ab\geq 2ab+ab\\ \Rightarrow 1\geq ab[/tex]
Và [tex]3=a^2+b^2+ab\geq -2ab+ab\\ \Rightarrow ab\geq -3\\ \Rightarrow 1\geq ab\geq -3[/tex]
Có [tex]P=a^4+b^4-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab=(3-ab)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\\=-\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}[/tex]
Do [tex]1\geq ab\geq -3\\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}\leq \left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2\leq \dfrac{81}{4} \\ \Rightarrow \dfrac{-1}{4}+\dfrac{85}{4}\geq -\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}\geq \dfrac{-81}{4}+\dfrac{85}{4}\\ \Leftrightarrow 21\geq P\geq 1[/tex]



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

 

[thanhft06]

Có [tex]3=a^2+b^2+ab\geq 2ab+ab\\ \Rightarrow 1\geq ab[/tex]
Và [tex]3=a^2+b^2+ab\geq -2ab+ab\\ \Rightarrow ab\geq -3\\ \Rightarrow 1\geq ab\geq -3[/tex]
Có [tex]P=a^4+b^4-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab=(3-ab)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\\=-\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}[/tex]
Do [tex]1\geq ab\geq -3\\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}\leq \left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2\leq \dfrac{81}{4} \\ \Rightarrow \dfrac{-1}{4}+\dfrac{85}{4}\geq -\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}\geq \dfrac{-81}{4}+\dfrac{85}{4}\\ \Leftrightarrow 21\geq P\geq 1[/tex]



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

Thanks bạn nhiều lắm!

Có [tex]3=a^2+b^2+ab\geq 2ab+ab\\ \Rightarrow 1\geq ab[/tex]
Và [tex]3=a^2+b^2+ab\geq -2ab+ab\\ \Rightarrow ab\geq -3\\ \Rightarrow 1\geq ab\geq -3[/tex]
Có [tex]P=a^4+b^4-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab=(3-ab)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\\=-\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}[/tex]
Do [tex]1\geq ab\geq -3\\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}\leq \left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2\leq \dfrac{81}{4} \\ \Rightarrow \dfrac{-1}{4}+\dfrac{85}{4}\geq -\left ( ab+\dfrac{7}{2} \right )^2+\dfrac{85}{4}\geq \dfrac{-81}{4}+\dfrac{85}{4}\\ \Leftrightarrow 21\geq P\geq 1[/tex]



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

Chỗ 3=a²+b²+ab≥ -2ab + ab là dùng Cô si hay là sao vậy ạ, mong bạn trả lời!!

 

[kido2006]

Thanks bạn nhiều lắm!


Chỗ 3=a²+b²+ab≥ -2ab + ab là dùng Cô si hay là sao vậy ạ, mong bạn trả lời!!

chỗ đó do $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \ge 0$ bạn nhé ^^