Toán 9 Cho $AB$ là đường kính của đường tròn $(O;R)$

[Enginol]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $AB$ là đường kính của đường tròn $(O;R)$. $C$ là một điểm thay đổi trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$), kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC,OI$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O;R)$ tại $M,MB$ cắt $CH$ tại $K$.
a. Chứng minh 4 điểm $C,HOI$ cùng thuộc một đường tròn
b. Chứng minh $MC$ là tiếp tuyến của $(O;R)$
c. Chứng minh $K$ là trung điểm của $CH$
d. Xác định vị trí của $C$ để chu vi tam giác $ACB$ đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo $R$



Các anh chị giúp em bài này với ạ, em cảm ơn

 

[Blue Plus]

a.
Ta có: $OI\perp AC\Rightarrow \widehat{CIO}=90^\circ$
Ta có $\widehat{CIO}=\widehat{CHO}=90^\circ$ nên tứ giách $CIHO$ nội tiếp.
b.
$\triangle OAC$ cân tại $O$ có $OI$ là trung tuyến nên cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat{AOI}=\widehat{COI}$
$\triangle AOM=\triangle COM$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MCO}\Rightarrow \widehat{MCO}=90^\circ\Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của $(O)$
c.
Ta có $CH\parallel AM$ (cùng vuông góc $AB$)
Trên tia $AM$ lấy điểm $D$ sao cho $AM=MD$
Ta có $CM=AM=MD=\dfrac12AD\Rightarrow \triangle ADC$ vuông tại $C\Rightarrow \widehat{ACD}=90^\circ$
Ta cũng có $\widehat{ACB}=90^\circ\Rightarrow \widehat{DCB}=\widehat{ACD}+\widehat{ABC}=180^\circ\Rightarrow D,C,B$ thẳng hàng.
Theo định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{CK}{MD}=\dfrac{BK}{BM}=\dfrac{KH}{MA}$ mà $MD=MA\Rightarrow CK=KH\Rightarrow K$ là trung điểm $DH$.
d.
Ta có bất đẳng thức: Với $a,b>0;(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)$
Áp dụng ta có: $(AC+BC)^2\le 2(AC^2+BC^2)=2AB^2=2.(2R)^2=8R^2\Rightarrow AC+BC\le 2\sqrt2R$
Suy ra $AB+BC+CA\le 2R+2\sqrt2R$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AC=BC\Leftrightarrow C$ là điểm chính giữa cung $AB$
Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.