Toán 9 Cho $a=\sqrt{2}+\sqrt{7-\sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}}+1$. CMR:$a^{4} - 14a^{2} + 9 = 0$

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\large a = \sqrt{2} + \sqrt{7 - \sqrt[3]{61 + 46\sqrt{5}}} + 1[/tex]
a) Chứng minh rằng [tex]\large a^{4} - 14a^{2} + 9 = 0[/tex]
b) Giả sử [tex]\large f(x) = x^{5} + 2x^{4} - 14x^{3} - 28x^{2} + 9x + 19.[/tex] Tính [tex]\large f(a).[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho [tex]\large a = \sqrt{2} + \sqrt{7 - \sqrt[3]{61 + 46\sqrt{5}}} + 1[/tex]
a) Chứng minh rằng [tex]\large a^{4} - 14a^{2} + 9 = 0[/tex]
b) Giả sử [tex]\large f(x) = x^{5} + 2x^{4} - 14x^{3} - 28x^{2} + 9x + 19.[/tex] Tính [tex]\large f(a).[/tex]

a) [tex]a = \sqrt{2} + \sqrt{7 - \sqrt[3]{61 + 46\sqrt{5}}} + 1\\=\sqrt{2} + \sqrt{7 - \sqrt[3]{(2\sqrt{5}+1)^3}} + 1\\=\sqrt{2}+\sqrt{7-(2\sqrt{5}+1)}+1\\=\sqrt{2}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}+1\\=\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}+1\\=\sqrt{2}+\sqrt{5}-1+1\\=\sqrt{2}+\sqrt{5}[/tex]
Xét [tex]a^{4} - 14a^{2} + 9=(a^4-14a^2+49)-40=(a^2-7)^2-40=[(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-7]^2-40=(2+2\sqrt{10}+5-7)^2-40=(2\sqrt{10})^2-40=0(dpcm)[/tex]
b) [tex]f(a)=a^{5} + 2a^{4} - 14a^{3} - 28a^{2} + 9a + 19=a(a^4-14a^2+9)+2(a^4-14a^2+9)+1=a.0+2.0+1=1[/tex]
Vậy [tex]f(a)=1[/tex]