Toán 9 Cho $A= \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2020\sqrt{2019}}$ .CMR:A<2

[iiarareum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]A= \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2020\sqrt{2019}}[/tex]
CMR : A<2.
Mọi người có ai biết đưa nó về dạng tổng quát luôn giúp mình thì càng tốt ạ. Giúp đỡ mình với, mình cần gấp ạ.

 

[Takudo]

Cho [tex]A= \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2020\sqrt{2019}}[/tex]
CMR : A<2.
Mọi người có ai biết đưa nó về dạng tổng quát luôn giúp mình thì càng tốt ạ. Giúp đỡ mình với, mình cần gấp ạ.

Dạng tổng quát:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}=\sqrt{n}.\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
=[tex]\sqrt{n}.(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}).(\frac{1}{\sqrt{n}+{\sqrt{n+1}}})[/tex]
=[tex](\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})[/tex] [TEX]<[/TEX] [tex]2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

 

[iiarareum]

Dạng tổng quát:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}=\sqrt{n}.\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
=[tex]\sqrt{n}.(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}).(\frac{1}{\sqrt{n}+{\sqrt{n+1}}})[/tex]
=[tex](\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})[/tex] [TEX]<[/TEX] [tex]2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

Mình chưa rõ dấu bằng thứ 2 lắm..?

 

[Takudo]

Mình chưa rõ dấu bằng thứ 2 lắm..?

à mình nhầm, sr bạn ....
Sửa:
[tex]\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}=\sqrt{n}.\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
=[tex]\sqrt{n}.(\frac{1}{\sqrt{n} }-\frac{1}{\sqrt{n+1} }).(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
=[tex](\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})[/tex] [TEX]<[/TEX] [tex]2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

 

[iiarareum]

à mình nhầm, sr bạn ....

Spoiler: Sửa:

[tex]\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}=\sqrt{n}.\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
=[tex]\sqrt{n}.(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}).(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
=[tex](\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})[/tex] [TEX]<[/TEX] [tex]2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

Ở dấu bằng thứ 2 sao lại nhân thêm [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex] vậy bạn?

 

[Takudo]

Ở dấu bằng thứ 2 sao lại nhân thêm [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex] vậy bạn?

aaaaaaaaaaaaaaa, lại nhầm, mình sửa ở trên rồi đó
Đây:
[tex]\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n}}{n+1}=\sqrt{n}.(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
Mình nhầm tí, bạn nhân 2 cái trong ngoặc ra sẽ đc như trên thui ^^

 

[iiarareum]

aaaaaaaaaaaaaaa, lại nhầm, mình sửa ở trên rồi đó
Đây:
[tex]\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n}}{n+1}=\sqrt{n}.(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}).(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
Mình nhầm tí, bạn nhân 2 cái trong ngoặc ra sẽ đc như trên thui ^^

Cảm ơn nhiều nhé, cậu vất vả rồi.