Toán 10 Cho a,b là các số thực dương

Windeee

Học sinh chăm học
Thành viên
5 Tháng bảy 2020
221
368
76
Thanh Hóa
Nothing
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,ba,b là các số thực dương. Chứng minh:
(1+ab)(a+b)a2+b2+(a2+b)(b+1)a(b2+1)+(b2+a)(a+1)b(a2+1)32\sqrt{\dfrac{(1+ab)(a+b)}{a^2+b^2}} + \sqrt{\dfrac{(a^2+b)(b+1)}{a(b^2+1)}} + \sqrt{\dfrac{(b^2+a)(a+1)}{b(a^2+1)}} \ge 3\sqrt 2

Mọi người giải giúp em bài này với ạ
 

Attachments

  • 1646583717101.png
    1646583717101.png
    38.6 KB · Đọc: 13
Last edited by a moderator:

HỌC LÀM GÌ

Học sinh mới
Thành viên
24 Tháng hai 2022
23
52
16
Earth
Hà Nội
HI
TA CÓ BDT SAU
(a+b)22(a2+b2)(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)
    a+b2a2+b2    12(a+b)a2+b2\implies a+b \le \sqrt 2 \cdot \sqrt{a^2+b^2} \iff \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (a+b)\le \sqrt{a^2+b^2}
ta có (1+ab)(a+b)=a(1+b2)+b(1+a2)(1+ab)(a+b)=a(1+b^2)+b(1+a^2)
(a2+b)(b+1)=(a2+1)b+(a2+b2)(a^2 +b)(b+1)=(a ^2 +1)b+(a ^2 + b ^2)
(b2+a)(a+1)=(b2+1)a+(a2+b2)(b^2 +a)(a+1)= (b ^2 + 1)a +(a ^2 +b ^2)
tách các phân số trong căn ra từng phân số
áp dụng bdt trên với từng căn
đặt 12\dfrac{1}{\sqrt 2} ra ngoài
ta đc các phân số nghịch đảo
ghép cặp rồi cô si
:) em ko bt gõ Latex đâu
 
Last edited by a moderator:

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
View attachment 204775
Mọi người giải giúp em bài này với ạ
Windeee
Bài này bạn xài "nhân tung than chuong" để giải nhé, đôi lúc nhân ra mới thấy được sự đẹp đẽ của bài toán !!
Ta có:(1+ab)(a+b)=a(b2+1)+b(a2+1)(1+ab)(a+b) = a(b^2 + 1) + b(a^2+1)
(a2+b)(b+1)=(a2+b2)+b(a2+1);(b2+a)(a+1)=(a2+b2)+a(b2+1)(a^2+b)(b+1) = (a^2+b^2) + b(a^2+1) ; (b^2+a)(a+1) = (a^2+b^2 ) +a (b^2+1)
Đặt a(b2+1)=x;b(a2+1)=y;a2+b2=z(x,y,z>0)a(b^2+1) = x; b(a^2+1) = y; a^2+b^2=z (x,y,z >0 )
Bất đẳng thức tương đương:
x+yz+y+zx+z+xy32\sqrt{\dfrac{x+y}{z}} + \sqrt{\dfrac{y+z}{x}} + \sqrt{\dfrac{z+x} {y}} \geq 3\sqrt{2}
Ta có: x+yz=2(x+y)(x+y)(2z)22(x+y)(z+x)+(z+y)\sqrt{\dfrac{x+y}{z}} = \dfrac{\sqrt{2} (x+y) }{\sqrt{(x+y)(2z)}} \geq \dfrac{2\sqrt{2} (x+y)} { (z+x)+ (z+y)}
Tương tự các phân thức khác, ta cộng với nhau và áp dụng BĐT Nesbit cho bộ 3 số x+y,y+z,z+xx+y,y+z,z+x
x+y(x+z)+(y+z)+y+z(x+y)+(x+z)+z+x(y+x)+(y+z)32\dfrac{x+y}{ (x+z) + (y+z)} + \dfrac{y+z}{(x+y)+(x+z)} +\dfrac{z+x}{(y+x) +(y+z)} \geq \dfrac{3}{2}
Ta được điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi a=b=1a=b=1

Bạn tham khảo kiến thức ở box này nhé

Toán - Tổng hợp topic ôn thi học kì

 

kido2006

Cựu TMod Toán
Thành viên
26 Tháng một 2018
1,693
2
2,653
401
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
Cho a,ba,b là các số thực dương. Chứng minh:
(1+ab)(a+b)a2+b2+(a2+b)(b+1)a(b2+1)+(b2+a)(a+1)b(a2+1)32\sqrt{\dfrac{(1+ab)(a+b)}{a^2+b^2}} + \sqrt{\dfrac{(a^2+b)(b+1)}{a(b^2+1)}} + \sqrt{\dfrac{(b^2+a)(a+1)}{b(a^2+1)}} \ge 3\sqrt 2

Mọi người giải giúp em bài này với ạ
Windeee1 bài toán tổng quát hơn mà mình đã làm trước đây :vv
1646585649351.png
Bài toán của bạn là trường hợp c=1c=1


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
 
Last edited:
Top Bottom