Toán 10 Cho a,b là các số thực dương

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{(1+ab)(a+b)}{a^2+b^2}} + \sqrt{\dfrac{(a^2+b)(b+1)}{a(b^2+1)}} + \sqrt{\dfrac{(b^2+a)(a+1)}{b(a^2+1)}} \ge 3\sqrt 2$

Mọi người giải giúp em bài này với ạ

 

[HỌC LÀM GÌ]

HI
TA CÓ BDT SAU
$(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$
$\implies a+b \le \sqrt 2 \cdot \sqrt{a^2+b^2} \iff \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (a+b)\le \sqrt{a^2+b^2}$
ta có $(1+ab)(a+b)=a(1+b^2)+b(1+a^2)$
$(a^2 +b)(b+1)=(a ^2 +1)b+(a ^2 + b ^2)$
$(b^2 +a)(a+1)= (b ^2 + 1)a +(a ^2 +b ^2)$
tách các phân số trong căn ra từng phân số
áp dụng bdt trên với từng căn
đặt $\dfrac{1}{\sqrt 2}$ ra ngoài
ta đc các phân số nghịch đảo
ghép cặp rồi cô si
em ko bt gõ Latex đâu

 

[2712-0-3]

View attachment 204775
Mọi người giải giúp em bài này với ạ

Windeee
Bài này bạn xài "nhân tung than chuong" để giải nhé, đôi lúc nhân ra mới thấy được sự đẹp đẽ của bài toán !!
Ta có:$(1+ab)(a+b) = a(b^2 + 1) + b(a^2+1)$
$(a^2+b)(b+1) = (a^2+b^2) + b(a^2+1) ; (b^2+a)(a+1) = (a^2+b^2 ) +a (b^2+1)$
Đặt $a(b^2+1) = x; b(a^2+1) = y; a^2+b^2=z (x,y,z >0 )$
Bất đẳng thức tương đương:
$\sqrt{\dfrac{x+y}{z}} + \sqrt{\dfrac{y+z}{x}} + \sqrt{\dfrac{z+x} {y}} \geq 3\sqrt{2}$
Ta có: $\sqrt{\dfrac{x+y}{z}} = \dfrac{\sqrt{2} (x+y) }{\sqrt{(x+y)(2z)}} \geq \dfrac{2\sqrt{2} (x+y)} { (z+x)+ (z+y)}$
Tương tự các phân thức khác, ta cộng với nhau và áp dụng BĐT Nesbit cho bộ 3 số $x+y,y+z,z+x$ là
$\dfrac{x+y}{ (x+z) + (y+z)} + \dfrac{y+z}{(x+y)+(x+z)} +\dfrac{z+x}{(y+x) +(y+z)} \geq \dfrac{3}{2}$
Ta được điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$

Bạn tham khảo kiến thức ở box này nhé

Toán - Tổng hợp topic ôn thi học kì​

 

[kido2006]

Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{(1+ab)(a+b)}{a^2+b^2}} + \sqrt{\dfrac{(a^2+b)(b+1)}{a(b^2+1)}} + \sqrt{\dfrac{(b^2+a)(a+1)}{b(a^2+1)}} \ge 3\sqrt 2$

Mọi người giải giúp em bài này với ạ

Windeee1 bài toán tổng quát hơn mà mình đã làm trước đây :vv

Bài toán của bạn là trường hợp $c=1$


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/