Nhận xét: Cho hàm số [TEX]f(x)=ax^2+bx+c[/TEX] với [TEX]a>0[/TEX].
Khi đó, với [TEX]m\leq x\leq n[/TEX] thì giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại [TEX]x=m[/TEX] hoặc [TEX]x=n[/TEX].
Chứng minh: Ta chứng minh được [TEX]f(x)[/TEX] đồng biến với [TEX]x>-\frac{b}{2a}[/TEX] và nghịch biến với [TEX]x<-\frac{b}{2a}[/TEX](bằng cách xét [TEX]x_1<x_2<-\frac{b}{2a}[/TEX] và [TEX]x_1>x_2>-\frac{b}{2a}[/TEX])
Từ đó thì xét các trường hợp:
+ [TEX]m<n<-\frac{b}{2a}[/TEX] thì [TEX]f(x) \leq f(m)[/TEX]
+ [TEX]-\frac{b}{2a}<m<n[/TEX] thì [TEX]f(x) \leq f(n)[/TEX]
+ [TEX]m\leq -\frac{b}{2a}\leq n[/TEX] thì [TEX]f(x) \leq f(m) \forall m \leq x \leq \frac{-b}{2a}, f(x) \leq f(n) \forall -\frac{b}{2a} \leq x \leq n[/TEX] nên giá trị lớn nhất đạt tại 1 trong 2 điểm [TEX]x=m,x=n[/TEX].
Quay lại bài toán: Chuẩn hóa [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]c=\min \left \{ a,b,c \right \} \Rightarrow c \leq \frac{a+b+c}{3}=1[/tex].
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
[tex]\frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}+\frac{12abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc} \leq 3 \Leftrightarrow \frac{3}{3-a}+\frac{3}{3-b}+\frac{3}{3-c}+\frac{12abc}{3(ab+bc+ca)-abc} \leq 6 \Leftrightarrow 3.\frac{(3-a)(3-b)+(3-b)(3-c)+(3-c)(3-a)}{(3-a)(3-b)(3-c)}+\frac{12abc}{3(ab+bc+ca)-abc} \leq 6 \Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca-6(a+b+c)+27}{27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc}+\frac{4abc}{3(ab+bc+ca)-abc } \leq 2 \Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca+9}{3(ab+bc+ca)-abc}+\frac{4abc}{3(ab+bc+ca)-abc} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca+4abc+9}{3(ab+bc+ca)-abc} \leq 2[/tex]
Đặt [TEX]ab+bc+ca=q,abc=r[/TEX] thì bất đẳng thức trở thành [TEX]\frac{q+4r+9}{3q-r} \leq 2 \Leftrightarrow q+4r+9 \leq 6q-2r \Leftrightarrow 9+6r \leq 5q \Leftrightarrow 9+6abc \leq 5(ab+bc+ca)=5ab+5c(a+b)=5ab+5c(3-c) \Leftrightarrow 5c^2+c(6ab-15)+9-5ab \leq 0(1)[/TEX]
Đặt [TEX]VT=f(c)[/TEX]. Ta thấy [TEX]|a-b|<c \leq 1[/TEX] nên theo nhận xét trên, [TEX]f(c)[/TEX] đạt giá trị lớn nhất tại [TEX]c=|a-b|[/TEX] hoặc [TEX]c=1[/TEX]. Từ đó ta chỉ cần xét 1 trong 2 trường hợp:
+ [TEX]c=1[/TEX]. (1) trở thành [TEX]ab-1 \leq 0[/TEX](Đúng do [TEX]c=1 \Rightarrow a+b=2 \Rightarrow ab \leq (\frac{a+b}{2})^2=1[/TEX])
+ [TEX]c=|a-b|[/TEX]. Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b \Rightarrow c=a-b \Rightarrow c+b=a=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}[/TEX].
Thay [TEX]c=\frac{3}{2}-b[/TEX] và [TEX]a=\frac{3}{2}[/TEX] vào (1) ta có : [TEX]5(\frac{3}{2}-b)^2+(\frac{3}{2}-b)(6.\frac{3}{2}b-15)+9-5.\frac{3}{2}b \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{4}(4b-3)^2-9 \leq 0[/TEX](đúng)
Vậy ta có đpcm.
Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
