Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh BĐT sau:
[tex]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{ac}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab} >2[/tex]
Giúp mình với mình đang cần gấp ! Cảm ơn mọi người
Ta có: [tex]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{ac}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab} [/tex]
[tex]=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}-2+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{ac}-2+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}+2+2 [/tex]
[tex]=\frac{b^{2}-2bc+c^{2}-a^{2}}{bc}+\frac{c^{2}-2ca+a^{2}-b^{2}}{ac}+\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{ab}+2 [/tex]
[tex]=\frac{(b-c)^2-a^{2}}{bc}+\frac{(a-c)^{2}-b^{2}}{ac}+\frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{ab}+2 [/tex]
[tex]=\frac{(b-c+a)(b-c-a)}{bc}+\frac{(a+b-c)(a-b-c)}{ac}+\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{ab}+2 [/tex]
[tex]=(a+b-c)(\frac{b-c-a}{bc}+\frac{a-b-c}{ac}+\frac{a+b+c}{ab})+2 [/tex]
[tex]=(a+b-c)[\frac{a(b-c-a)+b(a-b-c)+c(a+b+c)}{abc}]+2 [/tex]
[tex]=(a+b-c)[\frac{ab-ac-a^2+ba-b^2-bc+ca+bc+c^2)}{abc}]+2 [/tex]
[tex]=(a+b-c)[\frac{2ab-a^2-b^2+c^2)}{abc}]+2 [/tex]
[tex]=(a+b-c)[\frac{c^2-(a-b)^2}{abc}]+2 [/tex]
[tex]=\frac{(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{abc}+2 [/tex]
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên $a+b-c;c+a-b;c-a+b>0$
$\Rightarrow (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)>0
\Rightarrow \frac{(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{abc}+2>2$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
