Toán 8 cho a,b,c là các số nguyên lẻ

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
cho a,b,c là các số nguyên lẻ. CMR nếu ax^2+bx+c=0 có nghiệm thì đó không thể là các số hữu tỉ
truong2008Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ [imath]x= \dfrac{p}{q}[/imath] với [imath]q\ne 0 ; p,q\in \mathbb{Z}; (p,q)=1[/imath]
Khi đó [imath]ap^2 + bpq + cq^2 = 0[/imath] (1)
Vì [imath](p,q)=1[/imath] nên [imath]p,q[/imath] không thể cùng chẵn.
TH1: [imath]p,q[/imath] đều lẻ .
Mà [imath]a,b,c[/imath] lẻ [imath]\Rightarrow ap^2, bpq ,cq^2[/imath] lẻ
Kết hợp (1)[imath]\Rightarrow 0[/imath] lẻ (vô lý)
TH2: [imath]p,q[/imath] có 1 số chẵn, 1 số lẻ.
Giả sử [imath]p[/imath] chẵn, q lẻ [imath]\Rightarrow ap^2 , bpq[/imath] chẵn
Kết hợp (1) [imath]\Rightarrow cq^2[/imath] chẵn.
Mà [imath]c[/imath] lẻ [imath]\Rightarrow q^2[/imath] chẵn [imath]\Rightarrow q[/imath] lẻ (vô lý)
Vậy giả sử sai.

Ngoài ra mời e tham khảo tại [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
 
  • Like
Reactions: Nguyễn Chi Xuyên

truong2008

Học sinh
Thành viên
7 Tháng ba 2022
150
108
46
16
Bắc Giang
Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ [imath]x= \dfrac{p}{q}[/imath] với [imath]q\ne 0 ; p,q\in \mathbb{Z}; (p,q)=1[/imath]
Khi đó [imath]ap^2 + bpq + cq^2 = 0[/imath] (1)
Vì [imath](p,q)=1[/imath] nên [imath]p,q[/imath] không thể cùng chẵn.
TH1: [imath]p,q[/imath] đều lẻ .
Mà [imath]a,b,c[/imath] lẻ [imath]\Rightarrow ap^2, bpq ,cq^2[/imath] lẻ
Kết hợp (1)[imath]\Rightarrow 0[/imath] lẻ (vô lý)
TH2: [imath]p,q[/imath] có 1 số chẵn, 1 số lẻ.
Giả sử [imath]p[/imath] chẵn, q lẻ [imath]\Rightarrow ap^2 , bpq[/imath] chẵn
Kết hợp (1) [imath]\Rightarrow cq^2[/imath] chẵn.
Mà [imath]c[/imath] lẻ [imath]\Rightarrow q^2[/imath] chẵn [imath]\Rightarrow q[/imath] lẻ (vô lý)
Vậy giả sử sai.

Ngoài ra mời e tham khảo tại [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
HT2k02(Re-kido)a ơi a có thể chụp cho e đc ko ạ
 
Top Bottom