Cho $a,b,c$ đội một khác nhau và khác 0

[hoailinhminho]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $a,b,c$ là 3 số đôi một # nhau và # 0 , thỏa mãn : $a + \dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}$.
C/m: $abc = 1$ hoặc $abc = -1$

 

[thaiha_98]

Giải như sau:
Ta có:
$a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c} \rightarrow a-b=\dfrac{b-c}{bc}$ (1)
$b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a} \rightarrow b-c=\dfrac{c-a}{ac}$ (2)
$c+\dfrac{1}{a}=a+\dfrac{1}{b} \rightarrow c-a=\dfrac{a-b}{ab}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
$(a-b)(b-c)(c-a)=\dfrac{b-c}{bc}.\dfrac{c-a}{ac}.\dfrac{a-b}{ab}=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}$
\Rightarrow $(a-b)(b-c)(c-a).a^2b^2c^2=(a-b)(b-c)(c-a)$
\Rightarrow $(a-b)(b-c)(c-a).(a^2b^2c^2-1)=0$
\Rightarrow $(a-b)(b-c)(c-a)=0$ hoặc $a^2b^2c^2-1=0$
+) $(a-b)(b-c)(c-a)=0$ - Vô lý vì $a,b,c$ đôi một khác nhau.
+) $a^2b^2c^2-1=0 \rightarrow abc=1$ hoặc $abc=-1$
Vậy....