Toán 9 Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Tìm min của [tex]Q=\sum \frac{a^3}{b+2};T=\sum \frac{a^3}{b(c+1)}[/tex]

[tuanvt2004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 có abc=1
Tìm Min của
Q= [tex]\frac{a^3}{b+2} +\frac{b^3}{c+2} + \frac{c^3}{a+2}[/tex]
T=[tex]\frac{a^3}{b(c+1)} + \frac{b^3}{c(a+1)} + \frac{c^3}{a(b+1)}[/tex]

 

[Ann Lee]

cho a,b,c >0 có abc=1
Tìm Min của
Q= [tex]\frac{a^3}{b+2} +\frac{b^3}{c+2} + \frac{c^3}{a+2}[/tex]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{a^3}{b+2}+\frac{b+2}{9}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+2}.\frac{b+2}{9}.\frac{1}{3}}=a\\\Rightarrow \frac{a^3}{b+2}\geq a-\frac{b+2}{9}-\frac{1}{3}[/tex]
Tương tự...
Suy ra
[tex]Q=\frac{a^3}{b+2} +\frac{b^3}{c+2} + \frac{c^3}{a+2}\geq a-\frac{b+2}{9}-\frac{1}{3}+b-\frac{c+2}{9}-\frac{1}{3}-c-\frac{a+2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{8}{9}(a+b+c)-\frac{5}{3}\geq \frac{8}{9}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{5}{3}=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

cho a,b,c >0 có abc=1
Tìm Min của
T=[tex]\frac{a^3}{b(c+1)} + \frac{b^3}{c(a+1)} + \frac{c^3}{a(b+1)}[/tex]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

• [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/tex]
• [tex]a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}=3[/tex]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
[tex]T=\sum \frac{a^3}{b(c+1)}=\sum \frac{a^4}{ab(c+1)}=\sum \frac{a^4}{1+ab}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{3+\sum ab}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{2\sum a^2}=\frac{\sum a^2}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]