Toán 9 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. tìm GTNN của [tex]A=\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}[/tex]

[Cứu mạng@@]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đ,K:a,b,c>0
Cho a+b+c=3.Tìm min A=[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}[/tex]

 

[mỳ gói]

Đ,K:a,b,c>0
Cho a+b+c=3.Tìm min P=[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}[/tex]

P=[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}[/tex]
=$a+\frac{-b^2a+1}{b^{2}+1}+b+\frac{-c^2b+1}{c^{2}+1}+c+\frac{-a^2c+1}{a^{2}+1}$
=$3-(\frac{+b^2a11}{b^{2}+1}+\frac{c^2b-1}{c^{2}+1}+\frac{a^2c-1}{a^{2}+1}) \geq 3-(\frac{+b^2a-1}{2b}+\frac{c^2b-1}{2c}+\frac{a^2c-1}{2a} )$
làm từ từ đi.
tới đó rồi sd bổ đề :
$ xy+xz+yz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$
Lười gõ
mà cũng không biết làm đúng hay sai nên làm biếng ghi

 

[Cứu mạng@@]

Còn cách nào khác hg bn.Nếu hg thì giải chi tiết cho mn nhé!!!

 

[mỳ gói]

Còn cách nào khác hg bn.Nếu hg thì giải chi tiết cho mn nhé!!!

Vậy là chi tiết rồi.
Không hiểu chỗ nào thì hỏi.
Chứ mình biết chi tiết kiểu gì nữa ???

 

[Cứu mạng@@]

Mình hiểu rồi cảm ơn bn

 

[Ann Lee]

Đ,K:a,b,c>0
Cho a+b+c=3.Tìm min A=[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}[/tex]

Cách khác (cách này có vẻ dễ hiểu hơn cách của @mỳ gói nhé)
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{(a+1)(b^2+1)-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\geq a+1-\frac{(a+1)b^2}{2b}=a+1-\frac{(a+1)b}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]A\geq a+1-\frac{ab+b}{2}+b+1-\frac{bc+c}{2}+c+1-\frac{ca+a}{2}=3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Cách khác (cách này có vẻ dễ hiểu hơn cách của @mỳ gói nhé)
[tex]\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{(a+1)(b^2+1)-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\geq a+1-\frac{(a+1)b^2}{2b}=a+1-\frac{(a+1)b}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]A\geq a+1-\frac{ab+b}{2}+b+1-\frac{bc+c}{2}+c+1-\frac{ca+a}{2}=3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

Về cơ bản vẫn là 1