BĐT bổ đề: Với [TEX]x,y>0[/TEX] ta có [tex]\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]
(BĐT bổ đề này khá quen thuộc và dễnên mình không chứng minh lại, bạn tự nghiên cứu)
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex]\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right ) \right ]=\frac{1}{16}\left ( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]M\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{3}{4}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
