Toán 9 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}+\dfrac{1}{(b+1)^2(c+a)}+\dfrac{1}{(c+1)^2(a+b)}\le \dfrac{3}8$

Mong mn giúp em ạ ! Đây là những câu em ko làm được ạ .

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\sum \dfrac{1}{[(a^2+1)+2a](b+c)}\leq \sum \dfrac{1}{2\sqrt{(a^2+1).2a}.2\sqrt{bc}}=\sum \dfrac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}[/tex]
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
[tex]\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Do [tex]abc=1[/tex], đặt [tex](a^2;b^2;c^2)=\left ( \dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z} \right )[/tex], BĐT trở thành:
[tex]\sum \sqrt{\dfrac{x}{x+y}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Đây là 1 BĐT vô cùng quen thuộc, nổi tiếng, chắc bạn biết cách giải rồi

 

[Lê Tự Đông]

Mong mn giúp em ạ ! Đây là những câu em ko làm được ạ .View attachment 198236

$\dfrac{1}{3(a+1)^{2}(b+c)} = \dfrac{1}{3(\dfrac{1}{bc}+1)^{2}(b+c)}= \dfrac{1}{(\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}+2b+2c)+(\dfrac{3}{b^{2}c}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}+b)+(\dfrac{3}{c^{2}b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{1}{b}+c)} \leq \dfrac{1}{8+\dfrac{8}{b.\sqrt{c}}+\dfrac{8}{c\sqrt{b}}} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{a}}}{\dfrac{8}{\sqrt{a}}+\dfrac{8}{\sqrt{b}}+\dfrac{8}{\sqrt{c}}}$
TT:...........
=> $\dfrac{VT}{3} \leq \dfrac{1}{8}$

 

[Cheems]

[tex]\sum \dfrac{1}{[(a^2+1)+2a](b+c)}\leq \sum \dfrac{1}{2\sqrt{(a^2+1).2a}.2\sqrt{bc}}=\sum \dfrac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}[/tex]
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
[tex]\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Do [tex]abc=1[/tex], đặt [tex](a^2;b^2;c^2)=\left ( \dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z} \right )[/tex], BĐT trở thành:
[tex]\sum \sqrt{\dfrac{x}{x+y}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Đây là 1 BĐT vô cùng quen thuộc, nổi tiếng, chắc bạn biết cách giải rồi

BĐT cuối chị c/m được ko ạ ?

 

[kido2006]

BĐT cuối chị c/m được ko ạ ?

Bạn đã hỏi câu đó tại đây rồi mà nhỉ ??

 

[Cheems]

Bạn đã hỏi câu đó tại đây rồi mà nhỉ ??

Em cảm ơn ạ !