Toán 9 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh $\sum \frac{a}{2b^3+1}\geq 1$

[01658071095]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Ann Lee]

View attachment 70935

Bài 1:
Xem lại đề bài 1. Phải là chứng minh [tex]VT\geq \frac{3}{2}[/tex]
Thật vậy:
Ta có: [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3[/tex]
[tex]3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1[/tex]

[tex]\sum \frac{a}{b^2c+1}=\sum \frac{a(b^2c+1)-ab^2c}{b^2c+1}=\sum \left ( a-\frac{ab^2c}{b^2c+1} \right )\\\geq \sum \left ( a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}} \right )=\sum \left ( a-\frac{ab\sqrt{c}}{2} \right )=\sum \left ( a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2} \right )\\\geq \sum \left ( a-\frac{b(a+ac)}{4} \right )=\sum a-\frac{1}{4}\sum ab-\frac{3}{4}abc\\\geq 3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}.1=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
Bài 2:
Ta có [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9\Rightarrow a+b+c\geq 3[/tex]

[tex]\sum \frac{a}{2b^3+1}=\sum \frac{a(2b^3+1)-a2b^3}{2b^3+1}=\sum \left ( a-\frac{2ab^3}{2b^3+1} \right )=\sum \left ( a-\frac{2ab^3}{b^3+b^3+1} \right )\\\geq \sum \left ( a-\frac{2ab^3}{3b^2} \right )=\sum \left ( a-\frac{2ab}{3} \right )=\sum a-\frac{2}{3}\sum ab \geq 3-2=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]