Toán 9 Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum\frac{2b+3c}{a+2b+3c}\leq \frac{5}{2}$

[Hoàng Vũ Nghị]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 .cmr
a,[tex]\sum \frac{2b+3c}{a+2b+3c}\leq \frac{5}{2}[/tex]
b,[tex]\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq 1[/tex]
c,[tex]\sum \frac{b+c}{a^{2}+bc}\leq \sum \frac{1}{a}[/tex]
d,1+b[tex]\geq[/tex]4(1-a)(1-b)(1-c) (với a+b+c=1)

 

[Ann Lee]

cho a,b,c >0 .cmr
a,[tex]\sum \frac{2b+3c}{a+2b+3c}\leq \frac{5}{2}[/tex]

BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{2b+3c}{a+2b+3c} \right )\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+2b+3c}\geq \frac{1}{2}[/tex]
Ta có [tex]\sum \frac{a}{a+2b+3c}=\sum \frac{a^2}{a^2+2ab+3ca}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^2+5\sum ab}=\frac{(\sum a)^2}{(\sum a)^2+3\sum ab}\geq \frac{(\sum a)^2}{2(\sum a)^2}=\frac{1}{2}[/tex]
Vậy BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

cho a,b,c >0 .cmr
b,[tex]\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq 1[/tex]

Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]\sum 2a^4=\sum (a^4+b^4)\geq \sum 2a^2b^2=\sum (a^2b^2+b^2c^2)\geq \sum 2ab^2c=\sum 2a^2bc\\\Rightarrow \sum a^4\geq \sum a^2bc[/tex]
Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
[tex]\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}+bc}=\sum \frac{a^{4}}{a^2b^{2}+c^{2}a^2+a^2bc}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{2.\sum a^2b^2+\sum a^2bc}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum 2a^2b^2+\sum a^4}=\frac{(\sum a^2)^2}{(\sum a^2)^2}=1[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

cho a,b,c >0 .cmr
d,1+b[tex]\geq[/tex]4(1-a)(1-b)(1-c) (với a+b+c=1)

[tex]4(1-a)(1-b)(1-c)\\\leq (1-b)[(1-a)+(1-c)]^2\\=(1-b)(a+2b+c)^2\\=(a+2b+c)(1-b)(a+2b+c)\\\leq (1+b).\left [ \frac{(1-b)+(a+2b+c)}{2} \right ]^2\\=(1+b).\left ( \frac{1+a+b+c}{2} \right )^2\\=1+b[/tex]