Toán 9 Cho $a,b,c>0$. Chứng minh [tex]\sum \frac{a}{a+b}< \sum \frac{a}{b+c}[/tex]

[01658071095]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Ann Lee]

View attachment 77007

Ta có [tex]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2[/tex] (1)
Theo BĐT AM-GM ta có [tex]\frac{b+c}{a}+1\geq 2\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\Leftrightarrow \frac{b+c+a}{a}\geq 2\sqrt{\frac{b+c}{a}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}[/tex]
Tương tự ta sẽ có được
[tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} b+c=a\\c+a=b \\a+b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a+b+c=0(vo-ly)[/tex]
Nên [tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} >2[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm