Toán 9 Cho $a,b,c>0$. Chứng minh [tex]\sum \frac{a^3}{2ab+b^2}\geq\frac{a+b+c}{3}[/tex]

[quynhanhtran1810@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0. CMR
a) a^3/b^3 + b^3/c^3 +c^3/a^3 >= a/b + b/c +c/a
b)a^3/2ab+b^2 + b^3/2bc+c^2 + c^3/2ca+a^2 >= a+b+c/3
c)1/a^3+b^3+abc + 1/b^3+c^3+abc + 1/c^3+a^3+abc <= 1/abc

 

[Ann Lee]

Cho a,b,c >0. CMR
a) a^3/b^3 + b^3/c^3 +c^3/a^3 >= a/b + b/c +c/a
b)a^3/2ab+b^2 + b^3/2bc+c^2 + c^3/2ca+a^2 >= a+b+c/3
c)1/a^3+b^3+abc + 1/b^3+c^3+abc + 1/c^3+a^3+abc <= 1/abc

a) Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{a^3}{b^3}+1+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}.1.1}=3.\frac{a}{b}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}\geq 3.\frac{a}{b}-2[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]\sum \frac{a^3}{b^3}\geq 3\sum \frac{a}{b}-6=\sum \frac{a}{b}+2\sum \frac{a}{b}-6\geq \sum \frac{a}{b}+2.3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}}-6=\sum \frac{a}{b}(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

c) Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-2ab)\geq (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)\\\Rightarrow a^3+b^3+abc\geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)\\\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]\sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]