Toán cho a, b, c > 0, ab+bc+ac=1. Cm 1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)>=3/2

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai giúp m' bài này vs
cho a, b, c > 0, ab+bc+ac=1. Cm 1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)>=3/2

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^+1}
\\=\sum \dfrac{1}{a^2+ab+bc+ca}
\\=\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}
\\=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}
\\DPCM\Leftrightarrow \dfrac{2p}{pq-r} \geq \dfrac{3}{2}(p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc)
\\\Leftrightarrow 4p \geq 3p-3r
\\\Leftrightarrow p+3r \geq 0$.
Dấu '=' không thể xảy ra.
Vậy:$\sum \dfrac{1}{a^+1}>\dfrac{3}{2}$

 

[Uchiha Sasuke']

Ta có:
$\sum \dfrac{1}{a^+1}
\\=\sum \dfrac{1}{a^2+ab+bc+ca}
\\=\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}
\\=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}
\\DPCM\Leftrightarrow \dfrac{2p}{pq-r} \geq \dfrac{3}{2}(p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc)
\\\Leftrightarrow 4p \geq 3p-3r
\\\Leftrightarrow p+3r \geq 0$.
Dấu '=' không thể xảy ra.
Vậy:$\sum \dfrac{1}{a^+1}>\dfrac{3}{2}$

cho mình xin lỗi đề bài là ab+bc+ac=3. Bạn giải lại giúp m' vs

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

ai giúp m' bài này vs
cho a, b, c > 0, ab+bc+ac=1. Cm 1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)>=3/2

$\sum \dfrac{1}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\=\sum \dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\=3-\sum \dfrac{a^2}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a^2+1} \leq \dfrac{3}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{3a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)} \leq \dfrac{1}{2}
\\VT \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{a^2}{a^2+ab+ac})
\\=\dfrac{1}{4}(\sum\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \dfrac{a}{a+b+c})
\\=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}
\\\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}
\\=3-2\sum\dfrac{bc}{bc+2a^2}
\\=3-2\sum\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}
\\\leq 3-2\sum\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}
\\=3-2=1
\\\Rightarrow VT \leq \dfrac{1}{2}(dpcm)$
Vậy bđt được chứng minh.
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.

 

[Uchiha Sasuke']

$\sum \dfrac{1}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\=\sum \dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\=3-\sum \dfrac{a^2}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a^2+1} \leq \dfrac{3}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{3a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+ab+ac)} \leq \dfrac{1}{2}
\\VT \leq \dfrac{1}{4}(\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{a^2}{a^2+ab+ac})
\\=\dfrac{1}{4}(\sum\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \dfrac{a}{a+b+c})
\\=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}
\\\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}
\\=3-2\sum\dfrac{bc}{bc+2a^2}
\\=3-2\sum\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}
\\\leq 3-2\sum\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2}
\\=3-2=1
\\\Rightarrow VT \leq \dfrac{1}{2}(dpcm)$
Vậy bđt được chứng minh.
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.

mình thấy một số bạn có cách định hướng làm bài toán cực trị phức tạp rất nhanh, bạn có bí quyết gì k