Cho $a+b+c=0$ , $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ C/m $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}$

G

g_dragon88

Nhớ ấn nút thank nha!

Ta có: a+b+c = 0
\Rightarrow [TEX] (a+b+c)^2[/TEX] = 0
\Rightarrow [TEX] a^2[/TEX] +[TEX] b^2[/TEX] +[TEX] c^2[/TEX] +2.(ab+bc+ca) = 0
\Rightarrow 2(ab+bc+ca)= 0-1 = -1
\Rightarrow ab+bc + ca = [TEX] \frac{-1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX] (ab+bc+ca)^2[/TEX] = [TEX] \frac{1}{4}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] a^2[/TEX].[TEX] b^2[/TEX] +[TEX] b^2[/TEX].[TEX] c^2[/TEX] + [TEX] c^2[/TEX].[TEX] a^2[/TEX] +2.abc.(a+b+c) = [TEX] \frac{1}{4}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] a^2[/TEX].[TEX] b^2[/TEX]+[TEX] b^2[/TEX].[TEX] c^2[/TEX]+[TEX] c^2[/TEX].[TEX] a^2[/TEX] = [TEX] \frac{1}{4}[/TEX] (Vì a+b+c = 0)
Lại có: [TEX] a^2[/TEX]+[TEX] b^2[/TEX] + [TEX] c^2[/TEX] = 1
\Rightarrow [TEX] a^4[/TEX] + [TEX] b^4[/TEX]+[TEX] c^4[/TEX] + 2([TEX] a^2[/TEX].[TEX] b^2[/TEX]+[TEX] b^2[/TEX].[TEX] c^2[/TEX]+[TEX] c^2[/TEX].[TEX] a^2[/TEX]) = 1
\Rightarrow [TEX] a^4[/TEX]+[TEX] b^4[/TEX] + [TEX] c^4[/TEX] + 2.[TEX] \frac{1}{4}[/TEX]=1
\Rightarrow [TEX] a^4[/TEX]+[TEX] b^4[/TEX]+[TEX] c^4[/TEX] = [TEX] \frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow dpcm
 
H

harrypham

pandahieu said:
Cho $a+b+c=0$ , $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
C/m $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Từ $a+b+c=0 \implies a=-(b+c) \implies a^2=b^2+2bc+c^2$.
Khi đó thì $$a^2+b^2+c^2=1 \iff 2b^2+2c^2+2bc=1 \iff 2(b^2+c^2+2bc)=1 \iff b^2+c^2+bc= \dfrac{1}{2}.$$
Ta có $$(a^2+b^2+c^2)^2=1 \iff a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=1$$
Ta sẽ đi chứng minh $$2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)= \dfrac{1}{2}$$ hay $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2= \dfrac{1}{4}$.
Thật vậy $$\begin{aligned} a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 & = a^2(b^2+c^2+bc)-bc(a^2-bc) \\ & = a^2(b^2+c^2+bc)- bc (b^2+c^2+bc) \\ & = (a^2-bc)(b^2+c^2+bc) \\ & = (b^2+c^2+bc)^2 \\ & = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Vậy $2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)= \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $a^4+b^4+c^4=1- \dfrac{1}{2}= \boxed{ \dfrac{1}{2} }$.
 
  • Like
Reactions: duyhien05
P

phamducanhday

hố hó hay ứa giả hay ứa và rất đúng.nhưngr màddaaay là toán máy vậy. ko hiểu j cũng biểu hay :)):))=))=))
 
H

hthtb22

$2(a^4+b^{4}+c^{4})=2(a^2+b^2+c^2)^2-(a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2)^2+8abc(a+b+c)=1$
Ta có đpcm
 
T

thinhso01

a

Dạng này có tổng quát là cho ba số x,y,z thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=a^2$
Tính $x^4+y^4+z^4$ theo a
Cuối cùng thì $x^4+y^4+z^4=\dfrac{a^4}{2}$
Áp dụng vào ta có....như các bạn giải ở phá trên :D
 
P

phong_1998

Từ a+b+c=0⟹a=−(b+c)⟹a2=b2+2bc+c2.
Khi đó thì
a2+b2+c2=1⟺2b2+2c2+2bc=1⟺2(b2+c2+2bc)=1⟺b2+c2+bc=12.

Ta có
(a2+b2+c2)2=1⟺a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=1

Ta sẽ đi chứng minh
2(a2b2+a2c2+b2c2)=12
hay a2b2+a2c2+b2c2=14.
Thật vậy
a2b2+a2c2+b2c2=a2(b2+c2+bc)−bc(a2−bc)=a2(b2+c2+bc)−bc(b2+c2+bc)=(a2−bc)(b2+c2+bc)=(b2+c2+bc)2=14

Vậy 2(a2b2+a2c2+b2c2)=12.
Suy ra a4+b4+c4=1−12=12.
__________________
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom