Toán 9 Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$

[thangbebu1112004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 với a,b,c[tex]> 0[/tex] chứng minh rằng [tex]\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\geq 4\left ( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )[/tex]
2 cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=6 chứng minh rằng [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx+xyz\geq 8[/tex]

 

[Ann Lee]

1 với a,b,c[tex]> 0[/tex] chứng minh rằng [tex]\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\geq 4\left ( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )[/tex]

BĐT bổ đề: với $x;y>0$ ta có: [tex]\frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $x=y$
Áp dụng BĐT bổ đề:
[tex]4\left ( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )=3.\frac{4}{a+b}+2.\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\leq 3.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )+2.\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )=\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

 

[hoàng việt nam]

2 cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=6 chứng minh rằng [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx+xyz\geq 8[/tex]

Ta có: [TEX]x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/TEX]
[TEX]\rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 12[/TEX]
Dễ dàng c/m được [TEX]xy+yz+zx-xyz \leq 4[/TEX] theo bđt Schur
[TEX]\rightarrow đpcm[/TEX]