Cho 3 số dương thay đổi thoả mãn xyz=1.

[greenstart]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương thay đổi thoả mãn xyz=1. Tìm MAX của biểu thức

[TEX]F=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}[/TEX]​

Bài 2: Cho các số thực [TEX]a_{1};a_{2};a_{3};..[/TEX] xác định bởi công thức[TEX]a_{k}=\frac{3k^2+3k+1}{(k^2+k)^3}[/TEX]; k= 1, 2, 3...
Tính tổng sau : [TEX]S= a_{1}+a_{2}+a_{3}+....+a_{2011}[/TEX]

Bài 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y+ z \leq[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]. Tìm MIN của biểu thức : [TEX]x+ y + z + \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/TEX]

 

[braga]

Cho 3 số dương thay đổi thoả mãn xyz=1. Tìm MAX của biểu thức

[TEX]F=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}[/TEX]​

$$F=\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}+\dfrac{1}{y^3+z^3+xyz}+\dfrac{1}{z^3+x^3+xyz}$$
Ta có:
$$x^3+y^3+xyz=(x+y)(x^2+y^2-xy)+xyz\geq xy(x+y+z)$$

Tương tự:
$$y^3+z^3+xyz\geq yz(x+y+z) \ ; \ z^3+x^3+xyz\geq zx(x+y+z)$$
$$\Rightarrow F\leq \dfrac{1}{xy(x+y+z)}+\dfrac{1}{yz(x+y+z)}+\dfrac{1}{zx(x+y+)z}\\ F\leq \dfrac{1}{x+y+z}(\dfrac{x+y+z}{xyz})=\frac{1}{xyz}=1$$
Vậy $MaxF=1 \Leftrightarrow x=y=z$

 

[tranvanhung7997]

Ta có: $$x^3+y^3 \ge xy(x+y)$$
$$=> x^3+y^3+1 \ge xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$$
Ta có:$$ \sum_{}\frac{1}{x^3+y^3+1} \le \sum_{}\frac{1}{xy(x+y+z)}$$
$$=\sum_{}\frac{z}{xyz(x+y+z)} =\frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=\frac{1}{xyz}=1$$
Dấu "=" có \Leftrightarrow x=y=z=1
Vậy Max A=1 \Leftrightarrow x=y=z=1