Đề thiếu điều kiện $a+b+c=3$!
Cách 1:
Không mất tính tổng quát: Giả sử \[0 \le c \le b \le a \le 2\]
Khi đó:
$3a \ge a + b + c = 3 \Rightarrow a \ge 1 \Rightarrow a \in \left[ {1;2} \right]$ và $a + b = 3 - c \le 3$
Ta có:
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} = a.a + b.b + c.c = (a - b)a + (b - c)(a + b) + c(a + b + c)\]
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le (a - b).1 + (b - c).3 + 3c = 2a - 2b + 3b - 3c + 3c = 2a + b\]
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le a + (a + b) \le 2 + 3 = 5\]
Cách 2:
Do $a;b;c \in \left[ {0;2} \right]$ nên:
\[\begin{array}{l}
(2 - a)(2 - b)(2 - c) + abc \ge 0\\
\Leftrightarrow 8 - 4(a + b + c) + 2(ab + ac + bc) \ge 0\\
\Leftrightarrow 8 - 4.3 + 2(ab + ac + bc) \ge 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow ab + ac + bc \ge \dfrac{{4.3 - 8}}{2} = 2\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = {(a + b + c)^2} - 2(ab + ac + bc) = {3^2} - 2(ab + ac + bc)\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 9 - 2.2 = 5
\end{array}\]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn