Toán 12 [Chia sẻ] Đề thi HSG Toán thường 12 TPHCM 2020-2021

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Môn thi: Toán thường
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình: $4^x = x(2^x + 1) + \sqrt{2^x - x}$.

Bài 2. (4 điểm)
Cho hàm số $y = x^2 + x + 2021,5$ có đồ thị $(P)$. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng mà từ $M$ có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến $(P)$.

Bài 3. (5 điểm)
Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn $(O)$. Trong hình nón, người ta đặt một hình chóp $D.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và $\widehat{BAC} = 120^\circ$. Đỉnh $D$ nằm trên mặt xung quanh của hình nón, các mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng nhau.

a) Chứng minh $D$ thuộc đường thẳng $SA$.
b) Tính thể tích khối nón khi thể tích khối chóp bằng $3$.​

Bài 4. (4 điểm)
Cho $X = \{ n \in \mathbb{Z} \mid -5 \leq n \leq 5 \}$ và $\Pi$ là tập hợp các hàm số $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ có $a, b, c \in X$ và $f(x)$ có $3$ điểm cực trị. Chọn ngẫu nhiên $f(x)$ từ $\Pi$, tính xác suất để gốc tọa độ $O$ nằm hoàn toàn trong tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị $f(x)$.

Bài 5. (3 điểm)
Chứng minh họ đường cong $(C_m)$ $y = x^3 - 3(m - 2)x^2 + 3(m^2 - 4m + 3)x - m^3 + 6m^2 - 9m + 2$ luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định.

HẾT
​

----------
Bình luận: Mình không ngồi trực tiếp trong phòng thi nên cũng chưa biết sao, nhưng có vẻ do năm nay đã có sự phân biệt giữa đề chuyên và đề thường nên có thể đề sẽ khác biệt một chút so với năm trước.

 

[iceghost]

1/ pt $\iff 4^x - 1 = x(2^x + 1) + \sqrt{2^x - x} - 1$
$\iff (2^x + 1)(2^x - 1 - x) = \frac{2^x - x - 1}{\sqrt{2^x - x} + 1}$
$\iff 2^x - 1 - x = 0$ hoặc $2^x + 1 = \frac{1}{\sqrt{2^x - x} + 1}$ (vô lý do $VT > 1 \geqslant VP$)
Dùng bảng biến thiên ta chỉ ra được pt $2^x - 1 - x = 0$ có tối đa hai nghiệm. Dễ dàng nhận thấy hai nghiệm đó là $x = 0$ và $x = 1$.

5/ Đặt $n = m - 2$
$n^2 = (m^2 - 4m) + 4$
$n^3 = m^3 - 6m^2 + 12m - 8 = (m^3 - 6m^2+ 9m) + 3n - 2$

Khi đó $y = x^3 - 3nx^2 + 3(n^2 - 1)x - n^3 + 3n = (x - n)^3 - 3(x - n)$

Ta thấy: đồ thị $(C_m)$ có thể thu được bằng cách dịch chuyển đồ thị $(C_0) : y = x^3 - 3x$ theo chiều ngang qua phải $n$ đơn vị.
Phép dịch chuyển này luôn giữ cho đồ thị tiếp xúc với 2 tiếp tuyến tại 2 điểm cực trị của $(C_0)$ nên ta có đpcm.