Toán 12 [Chia sẻ] Đề thi HSG Toán thường 12 TPHCM 2019-2020

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (4 điểm)
Giải phương trình: $4^{\log_{2020} x} + \log_2 (-2 + x^{\log_{2020} 4}) = 2^{\log_{2020} x} + \log_{2020} x + 2$.

Bài 2. (4 điểm)
Cho hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $d$ là đường thẳng di động đi qua điểm $I(1; 1)$ và cắt $(C)$ tại hai điểm $M$, $N$. Tính khoảng cách từ điểm $A(2; -3)$ đến $d$ khi tam giác $AMN$ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 3. (4 điểm)
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, khoảng cách từ $A'$ đến $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $\sqrt{3}$ và $2$, góc giữa hai mặt phẳng $(BCC'B')$ và $(ACC'A')$ bằng $60^\circ$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $B'C'$ và $A'M = \sqrt{13}$.

a) Tính khoảng cách từ $M$ đến $AA'$.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$​

Bài 4. (4 điểm)
Cho hàm số $f(x) = \dfrac12 x^2 - mx$ và $g(x) = \dfrac{x - m}{x - 1}$, tham số $m \ne 1$, có đồ thị $(C_1)$, $(C_2)$. Biết rằng tồn tại đúng $2$ số $x_0 \in (2; 3)$ sao cho nếu gọi $d_1$, $d_2$ là tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ $x_0$ thuộc $(C_1)$, $(C_2)$ và $d_1$, $d_2$ cắt nhau tại $A$, còn $d_1$, $d_2$ cắt trục $Ox$ ở $B$, $C$ thì $AB = AC$. Tìm tất cả các giá trị $m$.

Bài 5. (4 điểm)
Cho tập hợp $X = \left\{ x | x \in \mathbb{Z}, -5 \leq x \leq 5, x \ne 0 \right\}$. Chọn ngẫu nhiên $4$ số đôi một phân biệt $a$, $b$, $c$, $d \in X$. Tính xác suất để hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ với $ad \ne bc$, có đồ thị $(C)$ mà cả $(C)$ lẫn tiệm cận đứng của $(C)$ đều cắt trục $Ox$ theo chiều dương.

-- Hết --​

 

[iceghost]

Lời giải: thực hiện bởi iceghost

1/ ĐK: $x > 0$ và $x^{\log_{2020} 4} > 2$
Đặt $t = \log_{2020} x$
pt $\iff 4^t + \log_2 (-2 + 4^t) = 2^t + t + 2$
$\iff 4^t - 2 + \log_2 (4^t - 2) = 2^t + t$
Xét hàm $f(a) = 2^a + a$ trên $\mathbb{R}$
$f'(a) = 2^a \ln 2 + 1 > 0 \, \forall a \in \mathbb{R}$
Suy ra $f(a)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
pt $\iff f(\log_2 (4^t - 2)) = f(t)$
$\iff \log_2 (4^t - 2) = t$
$\iff 4^t - 2 = 2^t$
$\iff (2^t - 2)(2^t + 1) = 0$
$\iff t = 1$
$\iff x = 2020$ (N)
Vậy $x = 2020$ là nghiệm pt

2/ $(C) : y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ ($x \ne 1$)
Đường thẳng qua $I(1, 1)$ có dạng $d: y = m(x - 1) + 1 = mx - m + 1$
PT hoành độ giao điểm: $\dfrac{x + 2}{x - 1} = mx - m + 1$
$\iff mx^2 - 2mx + m - 3 = 0$
$x = 1$ không là nghiệm pt. Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $\begin{cases} m \ne 0 \\ \Delta' = m^2 - m(m - 3) = 3m > 0 \end{cases} \iff m > 0$
Giả sử pt có 2 nghiệm $x_1$, $x_2$ thì $M(x_1, mx_1 - m + 1)$, $N(x_2, mx_2 - m + 1)$
$\vec{AM} (x_1 - 2, mx_1 - m + 4)$
$\vec{AN} (x_2 - 2, mx_2 - m + 4)$
$S_{AMN} = \dfrac12 \left| (x_1 - 2)(mx_2 - m + 4) - (x_2 - 2)(mx_1 - m + 4) \right|$
$= \dfrac12 \left| (m + 4)(x_1 - x_2) \right|$
$= \dfrac12 \sqrt{(m + 4)^2 [(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] }$
$= \dfrac12 \sqrt{(m + 4)^2 ( 4 - 4 \cdot \dfrac{m - 3}m )}$
$= \sqrt{\dfrac{3(m + 4)^2}{m}}$
$= \sqrt{3m + 24 + \dfrac{48}m}$
$\geqslant \sqrt{2 \sqrt{3m \cdot \dfrac{48}m} + 24} = 4 \sqrt{3}$
Dấu '=' xảy ra khi $3m = \dfrac{48}m$ hay $m = 4$ (do $m > 0$)
Khi đó $d : y = 4x - 3$
$d(I, d) = \dfrac{|4 \cdot 2 + 3 - 3|}{\sqrt{4^2 + 1^2}} = \dfrac{8}{\sqrt{17}}$

4/ $(C_1) : y = f(x) = \dfrac12 x^2 - mx$
$(C_2) : y = g(x) = \dfrac{x - m}{x - 1}$
Để ba điểm $A$, $B$, $C$ thỏa mãn $AB = AC$ thì hệ số góc của $d_1$ và $d_2$ phải là hai số đối nhau
$\iff f'(x_0) = -g'(x_0)$
$\iff x_0 - m = \dfrac{1 - m}{(x_0 - 1)^2}$
$\iff x_0(x_0 - 1)^2 - 1 = m[(x_0 - 1)^2 - 1]$
$\iff m = \dfrac{x_0 (x_0 - 1)^2 - 1}{(x_0 - 1)^2 - 1} = x_0 + \dfrac{x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2 - 1}$
Xét $h(x_0) = x_0 + \dfrac{x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2 - 1}$
$h'(x_0) = 1 + \dfrac{(x_0 - 1)^2 - 1 - 2(x_0 - 1)^2}{[(x_0 - 1)^2 - 1]^2} = 0$
$\iff (x_0 - 1)^2 + 1 = [(x_0 - 1)^2 - 1]^2$
$\iff (x_0 - 1)^4 - 3(x_0 - 1)^2 = 0$
$\iff x_0 = 1 \vee x_0 = 1 + \sqrt{3} \vee x_0 = 1 - \sqrt{3}$
$
\begin{array}{c|ccccc}
x_0 & 2 & & 1+\sqrt{3} & & 3 \\
\hline
h'(x_0) & & - & 0 & + \\
\hline
h(x_0) & +\infty & & & & \dfrac{11}3 \\
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & \dfrac{2 + 3\sqrt{3}}2 & &
\end{array}
$
Để có đúng 2 số $x_0 \in (2, 3)$ thỏa đề thì $\dfrac{2 + 3\sqrt{3}}2 < m < \dfrac{11}3$

 

[iceghost]

3/

(Nếu bạn muốn vọc vạch trên ggb thì file ở đây: https://www.geogebra.org/m/hedrqq77)

a) Hạ $AH \perp BB'$ và $AK \perp CC'$ thì $AH = \sqrt{3}$ và $AK = 2$.
Do $BB' \parallel CC'$ nên $(AHK) \perp CC'$, suy ra $HK \perp CC'$
Khi đó $((BCC'B'), (ACC'A')) = \widehat{AKH} = 60^\circ$

Xét $\triangle{AHK}$: $AH^2 = KA^2 + KH^2 - 2 KA \cdot KH \cdot \cos 60^\circ$
$\iff 3 = 4 + KH^2 - 2KH$
$\iff KH = 1$

Gọi $N$ là trung điểm $HK$ thì theo tính chất đường trung bình: $MN \parallel BH \parallel AA'$
Suy ra $d(M, AA') = d(N, AA') = NA$ (do $(AHK) \perp AA'$ nên $AN \perp AA'$)
$= \sqrt{AH^2 + HN^2} = \dfrac{\sqrt{13}}2$

b) Hạ $A'H' \perp BB'$ và $A'K' \perp CC'$. Khi đó dễ thấy khối chóp $A.BCKH$ bằng khối chóp $A'.B'C'K'H'$
Suy ra $V_{ABC.A'B'C'} = V_{AHK.A'H'K'} = AA' \cdot S_{AHK}$

Xét $\triangle{AMA'}$ vuông tại $M$: $\dfrac1{d^2(M, AA')} = \dfrac1{MA^2} + \dfrac1{MA'^2} \implies MA = \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$
$AA' = \sqrt{MA'^2 + MA^2} = \dfrac{2\sqrt{39}}3$

Có $S_{AHK} = \dfrac12 KA \cdot KH \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}2$
Từ đó $V_{ABC.A'B'C'} = \sqrt{13}$

5/ Tác giả vẫn chưa nghĩ ra lời giải nào đẹp. Tạm thời dùng cách liệt kê:

// JavaScript
const X = [-5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5];
const kgm = [];
const bienco = [];
for (let a of X) {
    for (let b of X) {
        for (let c of X) {
            for (let d of X) {
                if (a === b || a === c || a === d || b === c || b === d || c === d) continue;
                kgm.push([a, b, c, d]);            
                if (a * d === b * c) continue;
                if (a * b < 0 && c * d < 0) bienco.push([a, b, c, d]);
            }
        }
    }
}
console.log(bienco.length, kgm.length);

(Nếu thích bạn có thể F12 trình duyệt rồi paste vào console để chạy thử)
Nếu như mình lập trình đúng thì biến cố là $1472$ và không gian mẫu là $5040$. Xác suất là $\dfrac{92}{315}$

Còn đây là lời giải của thầy có facebook là Phong Lâm Hứa, đăng tải trên Facebook...

 

[System32]

5/ Tác giả vẫn chưa nghĩ ra lời giải nào đẹp. Tạm thời dùng cách liệt kê:

// JavaScript
const X = [-5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5];
const kgm = [];
const bienco = [];
for (let a of X) {
    for (let b of X) {
        for (let c of X) {
            for (let d of X) {
                if (a === b || a === c || a === d || b === c || b === d || c === d) continue;
                kgm.push([a, b, c, d]);              
                if (a * d === b * c) continue;
                if (a * b < 0 && c * d < 0) bienco.push([a, b, c, d]);
            }
        }
    }
}
console.log(bienco.length, kgm.length);

Tiện thể em cũng làm một code tương tự với Python:>

from math import *


all_event = 0
specific = 0
for a in range(-5, 6):
    for b in range(-5, 6):
        for c in range(-5, 6):
            for d in range(-5, 6):
                if a == 0 or b == 0 or c == 0 or d == 0:
                    pass
                else:
                    X = [a, b, c, d]
                    if len(set(X)) == 4:
                        all_event += 1
                        if a * d != b * c and a * b < 0 and c * d < 0:
                            specific += 1
                        else:
                            continue
print('Probability: {} % ({}/{})'.format(100*specific/all_event, specific, all_event))

And it works perfectly fine...