[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chào các bạn . Như các bạn đã biết thì BĐT có rất nhiều phương pháp hay và nhiều BĐT nên hôm nay mình sẽ đem đến cho các bạn về BĐT Holder nhé ^^
Cùng bắt đầu nào
1.Giới thiệu về BĐT Holder
1.1.Bất đẳng thức Holder, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder
1.2.Bất đẳng thức Holder được phát biểu như sau :
+, $m=n=2$ thì hiển nhiên đây là bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$
+, $m=n=3$ ta sẽ được bất đẳng thức là
Bất đẳng thức này hoàn toàn có thể chứng minh bằng AM-GM như sau
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách này để chứng minh BĐT dạng tổng quát (Bạn đọc tự chứng minh :vv)
Chúng ta cùng đến với một số bài tập nhé ^^
2.Ứng dụng BĐT Holder
Bài 1: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương ta luôn có
Đây có lẽ là một bài toán rất quen thuộc với nhiều bạn rồi nên mình sẽ chỉ viết vắn tắt thôi nhé ^^
Xét các biểu thức
[tex]A=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\\ B=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab)=a^3+b^3+c^3+24abc[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Holder trong trường hợp $m=n=3$ ta được
Ta chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^3 \ge B$ là xong
Nhân tung ra ta được $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ (luôn đúng theo AM-GM)
Bài 2: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương và $abc=1$ ta luôn có
Xét các biểu thức
$A=\sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b^2+c^2}}\\
B=\sum a(7+b^2+c^2)$
Như bài toán 1 , ta chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^3 \ge B$ là xong
Thật vậy
$B=7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3 \le 7(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^3}{3}-3 \le (a+b+c)^3$
Do đó ta được điều phải chứng minh
Bất đẳng thức thứ 2 không đúng. Thật vậy chọn $a=10^{-4};b=c=100$
2 bài toán trên có thể nhìn thấy việc sử dụng BĐT Holder khá dễ dàng, ta đến với một bài khó hơn nhé ^^
Bài 3: Chứng minh với $p \ge 2$ và $a,b,c \ge 0$ thì
Phân tích chút nhé ^^
Hiển nhiên thấy rằng bài này sử dụng BĐT Holder :vv, do số mũ là $\dfrac{1}{3}$ nên ta có thể nghĩ một cách tự nhiên là lập phương 2 vế, lập phương xong thì dùng BĐT Holder thôi
Do mình đã lập phương và biến đổi lằng nhằng nên mình sẽ viết như sau cho gọn nhé ^^
Lời giải:
Gọi $A=\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+pabc}{p+1}}$
Sử dụng BĐT Holder có
Do đó ta chỉ cần chứng minh
[tex]\sum \left ( a^2+pbc \right )=(a+b+c)^2+(p-2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2+\dfrac{(p-2)}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{(p+1)}{3}(a+b+c)^2[/tex]
Do đó bài toán được chứng minh
Để luyện tập nhuần nhuyễn hơn mình sẽ để lại một bài trước khi kết thúc topic nhé ^^
Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có
[tex]\sum \dfrac{a^3}{b^2}\geq \sum \dfrac{a^2}{b}[/tex]
Cùng bắt đầu nào
1.Giới thiệu về BĐT Holder
1.1.Bất đẳng thức Holder, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder
1.2.Bất đẳng thức Holder được phát biểu như sau :
[tex]\prod_{i=1}^{m}\left ( \sum_{j=1}^{n}a_{ij} \right )\geq \left (\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{ij}} \right )^{m}[/tex]
Nhìn có vẻ rối nhỉ ,vậy chúng ta cùng tìm hiểu về những trường hợp hay dùng nhé ^^
+, $m=n=2$ thì hiển nhiên đây là bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$
+, $m=n=3$ ta sẽ được bất đẳng thức là
[tex](a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\geq (axm+byn+czp)^3[/tex]
Bất đẳng thức này hoàn toàn có thể chứng minh bằng AM-GM như sau
[tex]\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\geq \dfrac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]
Tương tự 2 bất đẳng thức với bộ $(b,y,n) $ và $(c,z,p)$ rồi cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách này để chứng minh BĐT dạng tổng quát (Bạn đọc tự chứng minh :vv)
Chúng ta cùng đến với một số bài tập nhé ^^
2.Ứng dụng BĐT Holder
Bài 1: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương ta luôn có
[tex]\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1[/tex]
Lời giải
Đây có lẽ là một bài toán rất quen thuộc với nhiều bạn rồi nên mình sẽ chỉ viết vắn tắt thôi nhé ^^
Xét các biểu thức
[tex]A=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\\ B=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab)=a^3+b^3+c^3+24abc[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Holder trong trường hợp $m=n=3$ ta được
[tex]A.A.B\geq (a+b+c)^3\\ \Leftrightarrow A\geq \sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{B}}[/tex]
Ta chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^3 \ge B$ là xong
Nhân tung ra ta được $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ (luôn đúng theo AM-GM)
Bài 2: Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương và $abc=1$ ta luôn có
[tex]\sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b^2+c^2}}\geq 1[/tex]
Tương tự hãy kiểm tra xem BĐT sau có đúng hay không?[tex]\sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b^3+c^3}}\geq 1[/tex]
Lời giải:Xét các biểu thức
$A=\sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b^2+c^2}}\\
B=\sum a(7+b^2+c^2)$
Như bài toán 1 , ta chỉ cần chứng minh $(a+b+c)^3 \ge B$ là xong
Thật vậy
$B=7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3 \le 7(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^3}{3}-3 \le (a+b+c)^3$
Do đó ta được điều phải chứng minh
Bất đẳng thức thứ 2 không đúng. Thật vậy chọn $a=10^{-4};b=c=100$
2 bài toán trên có thể nhìn thấy việc sử dụng BĐT Holder khá dễ dàng, ta đến với một bài khó hơn nhé ^^
Bài 3: Chứng minh với $p \ge 2$ và $a,b,c \ge 0$ thì
[tex]\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+pabc}{p+1}}\leq a+b+c[/tex]
Phân tích chút nhé ^^
Hiển nhiên thấy rằng bài này sử dụng BĐT Holder :vv, do số mũ là $\dfrac{1}{3}$ nên ta có thể nghĩ một cách tự nhiên là lập phương 2 vế, lập phương xong thì dùng BĐT Holder thôi
Do mình đã lập phương và biến đổi lằng nhằng nên mình sẽ viết như sau cho gọn nhé ^^
Lời giải:
Gọi $A=\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+pabc}{p+1}}$
Sử dụng BĐT Holder có
[tex](a+b+c)\left ( \sum (a^2+pbc) \right )(1+1+1)\geq \left ( \sum \sqrt[3]{a^3+pabc} \right )^3=(p+1)A^3[/tex]
Do đó ta chỉ cần chứng minh
[tex]\sum \left ( a^2+pbc \right )\leq \dfrac{p+1}{3}(a+b+c)^2[/tex]
Thật vậy
[tex]\sum \left ( a^2+pbc \right )=(a+b+c)^2+(p-2)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2+\dfrac{(p-2)}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{(p+1)}{3}(a+b+c)^2[/tex]
Do đó bài toán được chứng minh
Để luyện tập nhuần nhuyễn hơn mình sẽ để lại một bài trước khi kết thúc topic nhé ^^
Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có
[tex]\sum \dfrac{a^3}{b^2}\geq \sum \dfrac{a^2}{b}[/tex]