[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1.Giới thiệu về Chebysev và bất đẳng thức Chebysev
a) Pafnuty Lvovich Chebyshev (sinh ngày 16 tháng 5 năm 1821 – mất ngày 8 tháng 12 năm 1894) là nhà toán học nổi tiếng người Nga và là người sáng tạo ra bất đẳng thức Chebyshev.
b)Bất đẳng thức Chebysev
Ta xuất phát từ một đẳng thức quen thuộc
$2(a_1x_1 + a_2x_2) = (x_1+ x_2 )(a_1 + a_2 ) + (x_1 − x_2 )(a_1 − a_2 )$
Cho hai dãy số thực $a_1, a_2 , ...a_n$ và $x_1 , x_2 , ...x_n$ . Với hai dãy đã cho đơn điệu cùng chiều thì:
2.Một số bài toán sử dụng BĐT Chebyshev
Bài toán 1 (BĐT Nesbitt): Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
Không mất tổng quát giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
[tex]\Rightarrow b+c\leq c+a\leq a+b[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{a}{b+c}\geq^{Chebyshev} \dfrac{1}{3}\left ( \sum a \right )\left ( \sum \dfrac{1}{b+c} \right )\geq ^{C-S}\dfrac{1}{3}\left ( \sum a \right )\left ( \dfrac{9}{2\sum a} \right )=\dfrac{3}{2}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Khai thác từ bài toán trên ta được bài toán mới như sau
Bài toán 2 :Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
Khai triển BĐT trên ta nhận được BĐT tương đương sau:
[tex]\sum \dfrac{ab+ac-2bc}{(b+c)^2}\geq 0[/tex]
Không mất tổng quát giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
[tex]\Rightarrow b+c\leq c+a\leq a+b[/tex] và [tex]ab+ac-2bc\geq bc+ba-2ca \geq ca+cb-2ab[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{ab+ac-2bc}{(b+c)^2}\geq ^{Chebyshev}\dfrac{1}{3}\left ( \sum (ab+ac-2bc) \right )\left ( \sum \dfrac{1}{(b+c)^2} \right )=0[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Bài toán 3 :Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
Bất đẳng thức trên tương đương
[tex]\sum \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}- 2\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\geq 0\\ \Leftrightarrow \sum \dfrac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 0[/tex]
Không mất tổng quát ta giả sử [tex]a\geq b\geq c\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+c-2a\leq c+a-2b\leq a+b-2c\\ \dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{c(a+b)}} \end{matrix}\right.[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq^{Chebyshev}\dfrac{1}{3}\left ( \sum (b+c-2a) \right )\left ( \sum \dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \right )=0[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Ngoài ra các bạn có thể làm bài toán này chỉ bằng $AM-GM$ thôi nhé ^^
Mình sẽ để cách đó tại đây nhé ^^
Cảm ơn các bạn đã đọc ,mong rằng sẽ có ich cho các bạn ^^
a) Pafnuty Lvovich Chebyshev (sinh ngày 16 tháng 5 năm 1821 – mất ngày 8 tháng 12 năm 1894) là nhà toán học nổi tiếng người Nga và là người sáng tạo ra bất đẳng thức Chebyshev.
b)Bất đẳng thức Chebysev
Ta xuất phát từ một đẳng thức quen thuộc
$2(a_1x_1 + a_2x_2) = (x_1+ x_2 )(a_1 + a_2 ) + (x_1 − x_2 )(a_1 − a_2 )$
- Nếu $a_1 \le a_2$ và $x_1 \le x_2$ hoặc $a_ 1 \ge a_2$ và $x_1 \ge x_2$ thì $2(a_1x_1 + a_2 x_2 ) \ge (x _1+ x_2 )(a_1 + a_2 ) $
- Nếu $a_1 \le a_2$ và $x_1 \ge x_2$ hoặc $a_ 1 \ge a_2$ và $x_1 \le x_2$ thì $2(a_1x_1 + a_2 x_2 ) \le (x _1+ x_2 )(a_1 + a_2 ) $
Cho hai dãy số thực $a_1, a_2 , ...a_n$ và $x_1 , x_2 , ...x_n$ . Với hai dãy đã cho đơn điệu cùng chiều thì:
$n(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n) \ge (a_1+a_2 + ...+a_n)(x_1 + x_2 + ...+x_n)$
Nếu 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì BĐT trên đổi chiều
2.Một số bài toán sử dụng BĐT Chebyshev
Bài toán 1 (BĐT Nesbitt): Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
[tex]\sum \dfrac{a}{b+c}\geq \dfrac{3}{2}[/tex]
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
[tex]\Rightarrow b+c\leq c+a\leq a+b[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{a}{b+c}\geq^{Chebyshev} \dfrac{1}{3}\left ( \sum a \right )\left ( \sum \dfrac{1}{b+c} \right )\geq ^{C-S}\dfrac{1}{3}\left ( \sum a \right )\left ( \dfrac{9}{2\sum a} \right )=\dfrac{3}{2}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Khai thác từ bài toán trên ta được bài toán mới như sau
Bài toán 2 :Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
[tex]\sum \dfrac{a}{b+c}\geq \dfrac{2}{3}\left ( \sum ab \right )\left ( \sum \dfrac{1}{(b+c)^2} \right )[/tex]
Lời giải
Khai triển BĐT trên ta nhận được BĐT tương đương sau:
[tex]\sum \dfrac{ab+ac-2bc}{(b+c)^2}\geq 0[/tex]
Không mất tổng quát giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
[tex]\Rightarrow b+c\leq c+a\leq a+b[/tex] và [tex]ab+ac-2bc\geq bc+ba-2ca \geq ca+cb-2ab[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{ab+ac-2bc}{(b+c)^2}\geq ^{Chebyshev}\dfrac{1}{3}\left ( \sum (ab+ac-2bc) \right )\left ( \sum \dfrac{1}{(b+c)^2} \right )=0[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Bài toán 3 :Chứng minh với $a,b,c>0$ thì
[tex]\sum \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\geq 2\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}[/tex]
Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương
[tex]\sum \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}- 2\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\geq 0\\ \Leftrightarrow \sum \dfrac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 0[/tex]
Không mất tổng quát ta giả sử [tex]a\geq b\geq c\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+c-2a\leq c+a-2b\leq a+b-2c\\ \dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{c(a+b)}} \end{matrix}\right.[/tex]
Do đó [tex]\sum \dfrac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq^{Chebyshev}\dfrac{1}{3}\left ( \sum (b+c-2a) \right )\left ( \sum \dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \right )=0[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Ngoài ra các bạn có thể làm bài toán này chỉ bằng $AM-GM$ thôi nhé ^^
Mình sẽ để cách đó tại đây nhé ^^
Cảm ơn các bạn đã đọc ,mong rằng sẽ có ich cho các bạn ^^
