Chia hết

S

soccan

nhận thấy $n=0,n=2$ thì số $A$ chia hết cho $323$. Giả sử với $n=2k$ thì $323|A$. Ta sẽ chứng minh với $n=2k+2$ thì $323|A$
ta có
$A_{2k+2}=20^{2k+2}+16^{2k+2}-3^{2k+2}-1\\
=(20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1)+20^{2k}.399+16^{2k}.255-3^{2k}.8$
xét $20^{2k}.399 \equiv 3^{2k}.8\ (mod\ 17)$
do đó $17|20^{2k}.399+16^{2k}.255-3^{2k}.8$
lại có $16 \equiv -3\ (mod\ 19) \longrightarrow 16^{2k} \equiv 3^{2k}\ (mod\ 19)$
suy ra $16^{2k}.255 \equiv 3^{2k}.8$
nên $19|20^{2k}.399+16^{2k}.255-3^{2k}.8$
mặt khác $(19,17)=1$ nên $323|20^{2k}.399+16^{2k}.255-3^{2k}.8$
theo giả thiết quy nạp thì $323|20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1$. Vậy $323|A_{2k+2}$
do đó với mọi $n=2k$ với $k \in \mathbb{N}$ thì $323|A$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom